Fundamentos del problema de estimacion en sistemas estocasticos

Tema 2: Fundamentos del problema de estimación

Def: Sistemas Estocásticos como aquellos sistemas dinámicos donde las perturbaciones, el vector de estado, x(t), y el vector de observaciones ,z(t), son vectores aleatorios. Siendo t instantes de tiempo. Objetivo: explicar el comportamiento del sistema ≅ conocer el modelo matemático, o sea, conocer la trayectoria de su vector de estado a partirde las observaciones disponibles en cada instante de tiempo, esto es, estimar el vector de estado a partir de las observaciones disponibles.

1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE ESTIMACIÓN
Supongamos S un Sist. Estocástico cuyo vector de estado {x(k); k ∈ I} (proceso estomático n-dimensional
discreto), definido sobre ( Ω, Λ, P ) espacio probabilístico, donde I es un conjunto de indices discreto,finito

(I={0,…,N}) o infinito (I={0,1,…}). Dadas las observaciones {z(i);i=0,…,j} vectores aleatorios definidos en ( Ω, Λ, P ) , con dim(z(i))=m •

∀ i=0,…,j.

Se define el estimador de x(k) con k fijo, basado en {z(i);i=0,…,j} como la función vector valuada ndimensional

Φ k de las mismas, esto es:

• •

Como cualquier estimador, definimos Error de estimación: observaciones:

ˆ Sedice que x (k/j) es óptimo si ~ (k/j)=0. Pero en los sistemas reales, ~ (k/j) ≠ 0, por lo que definimos x x
una función de pérdida o penalización, L= L[ ~ (k/j)] con las propiedades siguientes: x 1. L es una función real de n variables. 2. L(0)=0. 3.

L ~ b (k / j ) ≥ L ~ a (k / j ) , si ∃ p fundón real de n variables, no negativa y convexa que x x ~ b (k / j ) ≥ p ~ a (k / j ) . px x 4. Lsimétrica: L[ ~ (k/j)]= L[- ~ (k/j)] x x
ˆ x Ahora bien, como tanto x(k) y x (k/j) son vectores aleatorios ⇒ ~ (k/j) es vector aleatorio

[ [

] [ ] [

] ]

•

⇒ L[ ~ (k/j)] es x

una variable aleatoria,

⇒ definir una medida de la pérdida global como la pérdida media o esperada
como función no decreciente de la pérdida.

Entonces, el estimador óptimo bajo dicha función de pérdida esaquel que minimice la pérdida del

error de estimación.
Nota: por las propiedades de la esperanza concidionada, y como la esperanza es un operador no decreciente, tenemos que la medida global de la pérdida asociada a un estimador, como la pérdida media condicional de la observaciones,

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Tema 2: Fundamentos del problema de estimación

2. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE ESTIMACIÓN
Teorema 1(Sherman):
Si la distribución condicionada del vector x(k) dadas las observaciones {z(0), … , z(j)} es simétrica respecto de su media y la función de distribución es convexa para todo valor menor o igual que la media, entonces, para cualquier función de pérdida admisible, el estimador óptimo es ~ (k/j) = E [x(k) /z(0),…,z (j)] . x Consecuencias: • Si los procesos {x(k); k ∈ I} y {z(k); k ∈ I}verifican las hipótesis del teorema e independientes estimador óptimo •

⇒ el

ˆ ∀ k, j es: x (k/j)=E[x(k)]

Si la hipótesis de la función de distribución convexa se da para la función de pérdida L, el estimador óptimo sigue siendo la esperanza condicionada.

•

Si la distribución condicionada de x(k), dadas las observaciones {z(0), … , z(j)} es gaussiana, se verifican las hipótesis delteorema y Corolario (Doob). Si {x(k); k ∈ I} y {z(i);i=o,…j} son conjuntamente gaussianos,

⇒ ⇒ ∀ función de pérdida admisible y ∀ k, el

ˆ estimador óptimo de x(k) es x (k/j)=E[x(k)/z(0),…,z(j)]
En el caso gaussiano, el estimador óptimo es lineal: Donde

Con las siguientes propiedades: 1. 2. 3.

ˆ x (k/j) es lineal (combinación lineal de las observaciones disponibles) ˆ x (k/j) y ~ (k/j)vectores n-dimensionales gaussianos x ~ (k/j) independiente de ∀ combinación lineal de las obs.disponibles ⇒ x ~ (k/j) independiente de x (k/j) ⇔ E ~ (k / j ) x T (k / j ) =0 ˆ ˆ x x

[

]

4.

ˆ x (k/j) es el único estimador óptimo.

Nota: El corolario de Doob garantiza que, para procesos gaussianos, el estimador óptimo bajo cualquier función de perdida admisible es la esperanza...