Fundamentos del problema de estimacion en sistemas estocasticos

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Tema 2: Fundamentos del problema de estimación

Def: Sistemas Estocásticos como aquellos sistemas dinámicos donde las perturbaciones, el vector de estado, x(t), y el vector de observaciones ,z(t), son vectores aleatorios. Siendo t instantes de tiempo. Objetivo: explicar el comportamiento del sistema ≅ conocer el modelo matemático, o sea, conocer la trayectoria de su vector de estado a partirde las observaciones disponibles en cada instante de tiempo, esto es, estimar el vector de estado a partir de las observaciones disponibles.

1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE ESTIMACIÓN
Supongamos S un Sist. Estocástico cuyo vector de estado {x(k); k ∈ I} (proceso estomático n-dimensional
discreto), definido sobre ( Ω, Λ, P ) espacio probabilístico, donde I es un conjunto de indices discreto,finito

(I={0,…,N}) o infinito (I={0,1,…}). Dadas las observaciones {z(i);i=0,…,j} vectores aleatorios definidos en ( Ω, Λ, P ) , con dim(z(i))=m •

∀ i=0,…,j.

Se define el estimador de x(k) con k fijo, basado en {z(i);i=0,…,j} como la función vector valuada ndimensional

Φ k de las mismas, esto es:

• •

Como cualquier estimador, definimos Error de estimación: observaciones:

ˆ Sedice que x (k/j) es óptimo si ~ (k/j)=0. Pero en los sistemas reales, ~ (k/j) ≠ 0, por lo que definimos x x
una función de pérdida o penalización, L= L[ ~ (k/j)] con las propiedades siguientes: x 1. L es una función real de n variables. 2. L(0)=0. 3.

L ~ b (k / j ) ≥ L ~ a (k / j ) , si ∃ p fundón real de n variables, no negativa y convexa que x x ~ b (k / j ) ≥ p ~ a (k / j ) . px x 4. Lsimétrica: L[ ~ (k/j)]= L[- ~ (k/j)] x x
ˆ x Ahora bien, como tanto x(k) y x (k/j) son vectores aleatorios ⇒ ~ (k/j) es vector aleatorio

[ [

] [ ] [

] ]



⇒ L[ ~ (k/j)] es x

una variable aleatoria,

⇒ definir una medida de la pérdida global como la pérdida media o esperada
como función no decreciente de la pérdida.

Entonces, el estimador óptimo bajo dicha función de pérdida esaquel que minimice la pérdida del

error de estimación.
Nota: por las propiedades de la esperanza concidionada, y como la esperanza es un operador no decreciente, tenemos que la medida global de la pérdida asociada a un estimador, como la pérdida media condicional de la observaciones,

1

Tema 2: Fundamentos del problema de estimación

2. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE ESTIMACIÓN
Teorema 1(Sherman):
Si la distribución condicionada del vector x(k) dadas las observaciones {z(0), … , z(j)} es simétrica respecto de su media y la función de distribución es convexa para todo valor menor o igual que la media, entonces, para cualquier función de pérdida admisible, el estimador óptimo es ~ (k/j) = E [x(k) /z(0),…,z (j)] . x Consecuencias: • Si los procesos {x(k); k ∈ I} y {z(k); k ∈ I}verifican las hipótesis del teorema e independientes estimador óptimo •

⇒ el

ˆ ∀ k, j es: x (k/j)=E[x(k)]

Si la hipótesis de la función de distribución convexa se da para la función de pérdida L, el estimador óptimo sigue siendo la esperanza condicionada.



Si la distribución condicionada de x(k), dadas las observaciones {z(0), … , z(j)} es gaussiana, se verifican las hipótesis delteorema y Corolario (Doob). Si {x(k); k ∈ I} y {z(i);i=o,…j} son conjuntamente gaussianos,

⇒ ⇒ ∀ función de pérdida admisible y ∀ k, el

ˆ estimador óptimo de x(k) es x (k/j)=E[x(k)/z(0),…,z(j)]
En el caso gaussiano, el estimador óptimo es lineal: Donde

Con las siguientes propiedades: 1. 2. 3.

ˆ x (k/j) es lineal (combinación lineal de las observaciones disponibles) ˆ x (k/j) y ~ (k/j)vectores n-dimensionales gaussianos x ~ (k/j) independiente de ∀ combinación lineal de las obs.disponibles ⇒ x ~ (k/j) independiente de x (k/j) ⇔ E ~ (k / j ) x T (k / j ) =0 ˆ ˆ x x

[

]

4.

ˆ x (k/j) es el único estimador óptimo.

Nota: El corolario de Doob garantiza que, para procesos gaussianos, el estimador óptimo bajo cualquier función de perdida admisible es la esperanza...
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