Gabriela

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1.2 PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION
1.2.1 Binomio al cuadrado
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo se tiene lo que se conoce como un binomio al cuadrado. Después de desarrollar la multiplicación se obtiene un trinomio cuadrado perfecto. Si para un binomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemosexpresar el binomio al cuadrado como (a + b) 2. Si desarrollamos la multiplicación se tiene:
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a + b)2 = aa + ab + ba + bb
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cuadrado y el lado derecho de la igualdad se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Usando la identidad se puede obtener el resultado sinnecesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cuadrado el primer término del binomio, sumarle el doble del producto del primero por el segundo y finalmente sumarle el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:

(x + 2y)2 = (x)(x) + 2(x)(2y) + (2y)(2y)
(x + 2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

(3xy + 5)2 = (3xy)(3xy) + 2(3xy)(5) + (5)(5)
(3xy + 5)2 = 9x2y2 + 30xy + 25
Binomio al cuadrado deresta
La identidad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cuadrado y desarrollar la multiplicación tenemos:
(a - b)2 = (a - b)(a - b)
(a - b)2 = aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b)
(a - b)2 = aa - ab - ab + bb
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Loanterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado el término del doble producto del primero por el segundo tiene signo negativo.
Ejemplo:

(3x2 - z)2 = (3x2)(3x2) - 2(3x2)(z) + (z)(z)
(3x2 - z)2 = 9x4 - 6x2z + z2

Binomio al cubo
Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene lo que se conoce como un binomio al cubo. Si para unbinomio cualquiera consideramos el primer término como a y el segundo término como b, entonces el binomio es a + b y también podemos expresar el binomio al cubo como (a + b) 3. Desarrollando la multiplicación se tiene:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + ab + ba + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2 + 2ab + b2)(a + b)
(a + b)3 = (a2)(a) + (a2)(b) + (2ab)(a) + (2ab)(b) + (b2)(a) + (b2)(b)
(a+ b)3 = a3 + a2b + 22b + 2ab2 + ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Esta última expresión es una identidad que se cumple para cualquier binomio al cubo. Usando la identidad se puede obtener el resultado sin necesidad de realizar la multiplicación. Solo hay que elevar al cubo el primer término del binomio, sumarle el triple del producto del cuadrado del primer término por el segundo,sumarle el triple del producto del primer término por el cuadrado del segundo y finalmente sumarle el cubo del segundo término.
Ejemplos:

(x + 2y)3 = (x)(x)(x) + 3(x)(x)(2y) + 3(x)(2y)(2y) + (2y)(2y)(2y)
(x + 2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

(3xy + 5)3 = (3xy)(3xy)(3xy) + 2(3xy)(3xy)(5) + 2(3xy)(5)(5) + (5)(5)(5)
(3xy + 5)3 = 27x3y3 + 90x2y2 + 150xy + 125
Binomio al cubo de resta
Laidentidad (a + b)3 = a2 + 3a2b + 3ab2 + b3 es válida para todos los binomios, pero se puede particularizar más para el caso de que los términos del binomio tengan signos diferentes, en ese caso, al elevar al cubo y desarrollar la multiplicación tenemos:
(a - b)3 = (a - b)(a - b)(a - b)
(a - b)3 = (aa + (a)(-b) + (-b)(a) + (-b)(-b))(a - b)
(a - b)3 = (a2 - ab - ab + b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2 - 2ab +b2)(a - b)
(a - b)3 = (a2)(a) + (a2)(-b) + (-2ab)(a) + (-2ab)(-b) + (b2)(a) + (b2)(-b)
(a - b)3 = a3 - a2b - 2a2b + 2ab2 + 2ab2 - b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Lo anterior nos indica que cuando los términos del binomio tienen signos opuestos, en el resultado los términos quedan intercalados positivos y negativos.
Ejemplo.
(3x2 - z)3 = (3x2)(3x2)(3x2) - 3(3x2)(3x2)(z) + 3(3x2)(z)(z)...
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