Gaus

Comprobaci´n Ley Gauss con C´lculo o a
Fisicacalculo.blogspot.com Agosto 2010
Encontrar el campo el´ctrico producido por una esfera conductora, de dene sidad superficial de carga σ. a)En un puntofuera de la esfera. b)En un punto dentro de la esfera.

Soluci´n o E = Ex i + Ey j + Ez k Que por simetr´ ıa Ex = Ey = 0 Y en donde Ez = 1 4πε dq cosβ r2 (2) (3) (1)

En la figura es claro que R =cte, z = cte y 0 < θ < π. Adem´s por medio de a la ley de cosenos r2 = R2 + z 2 − 2Rzcosθ (4) Y por la ley de senos sinβ sinθ = r R (5)

1

Que al desarrollar un poco puede tomar la forma de R2sin2 θ r2 R2 sin2 θ + cos2 β r2 cos2 β cos2 β = sin2 β

= 1 = 1− = R2 sin2 θ r2 r2 − R2 sin2 θ r2

Y que al sustituir (4) en esta ultima expresi´n toma la forma de: ´ o cos2 β cos2 β = = R2 (1 − sin2θ) − 2Rcosθ + z 2 r2 2 (z − Rcosθ) r2 cosβ = (6)

z − Rcosθ r Entonces reemplazando (4) y(6) en (3) se obtiene Ez = 1 4πε z − Rcosθ (R2 + z 2 − 2Rzcosθ)
3/2

dq

(7)

Y en donde encoordenadas esf´ricas dq est´ dada por: e a dq = σdS = σR2 sinθdθdφ Obteniendo finalmente de (7) y (8) la integral Ez = σR2 4πε sinθ(z − Rcosθ)
S 3/2

(8)

(R2 + z 2 − 2Rzcosθ)

dθdφ

(9)

Y en donde0 < θ < π, 0 < φ < 2π Resolviendo para φ se obtiene la integral: Ez = Cuya soluci´n es o Ez Ez = = R − zcosθ σR2 √ 2 2 − 2Rzcosθ + z 2 2εz R 0 2 R+z σR R−z √ −√ 2εz 2 R2 + 2Rz + z 2 R2 − 2Rz + z 2
πσR2 2ε

π 0

(z − Rcosθ) sinθ (R2 + z 2 − 2Rzcosθ)
3/2

dθ

(10)

Ez =

σR2 2εz 2

R+z (R + 2 z)2

−

R−z (R − z)2

(11)

Donde es importante hacer una pausa, ya que en eldenominador del segundo t´rmino (R − z)2 = R − z si R > z, pero (R − z)2 = z − R si R < z. O en e otras palabras, para un punto dentro de la esfera o fuera de ella respectivamente. Tomando primero elcaso fuera de la esfera se prosigue con: Ez Ez Ez Ez = = = = σR2 2εz 2 σR2 2εz 2 σR2 2εz 2 σR2 εz 2 R−z R+z − R+z z−R 2 2 z − R − (R2 − z 2 ) z 2 − R2 2z 2 − 2R2 z 2 − R2

Recordando ahora que Se...