Gauss-seidel
Equipo: Pablo Ocotitla Cruz1
1 Facultad
de Ciencias B´sicas, Ingenier´ y Tecnolog´ a ıa ıa Universidad Aut´noma de Tlaxcala o
Licenciatura en Matem´ticas Aplicadas a
12 de noviembre de 2011
Contenido
1
Introducci´n o Algoritmo Aplicaciones Ejercicios Propuestos Bibliograf´ ıa2
3
4
5
FCBIyT (UATx)
M´todo de Gauss-Seidel ) e
12 de noviembre de 2011
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Introducci´n o
Introducci´n o
En an´lisis num´rico el m´todo de Gauss-Seidel es un m´todo iterativo a e e e utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El m´todo se llama e as´ en honor a los matem´ticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludı a wig von Seidel y essimilar al m´todo de Jacobi. Aunque este m´todo puede e e aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista soluci´n el sistema debe tener o tantas ecuaciones como inc´gnitas) de coeficientes con los elementos de su o diagonal no-nulos, la convergencia del m´todo solo se garantiza si la matriz e es diagonalmente dominante o si essim´trica y, a la vez, definida positiva. e
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Introducci´n o
El m´todo de Gauss-Seidel es muy semejante al m´todo de Jacobi. Mientras e e que en el de Jacobi se utiliza el valor de las inc´gnitas para determinar una o nueva aproximaci´n, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de o las inc´gnitasreci´n calculados en la misma iteraci´n, y no en la siguiente. o e o Por ejemplo, en el m´todo de Jacobi se obtiene en el primer c´lculo xi+1 , e a pero este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteraci´n. En el o m´todo de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi+1 en lugar de xi en e forma inmediata para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las siguientesvariables; siempre se utilizan las variables reci´n calculadas. e El m´todo de Gauss-Seidel hace parte de los m´todos llamados indirectos o e e 0 0 0 0 iterativos. En ellos se comienza con x = x1 , x2 , . . . , xn , una aproximaci´n o inicial de la soluci´n. o
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Introducci´n o
A partir de x se construye una nuevaaproximaci´n de la soluci´n, o o 1 1 1 1 1 2 x = x1 , x2 , . . . , xn , . A partir de x se construye x (aqu´ el super´ ı ındice indica la iteraci´n y no indica una potencia). As´ sucesivamente se construye o ı k una sucesi´n de vectores { x } con el objetivo, no siempre garantizado, de o que:
k→∞
0
l´m x ı
k
= x
∗
Generalmente los m´todos indirectos son una buena opci´n cuando lamatriz e o es muy grande y dispersa o rala, es decir, cuando el n´mero de elementos u 2 no nulos es peque˜o comprado con n , n´mero total de elementos de A. En n u estos casos se deben utilizar una estructura de datos adecuada que permita almacenar unicamente los elementos no nulos. ´
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Introducci´n o
En cadaiteraci´n del m´todo de Gauss-Seidel, hay n sub-iteraciones. En o e la primera sub-iteraci´n se m´dica unicamente x1 . Las dem´s coordenadas o o ´ a x2 , x3 , . . . xn no se modifican. El c´lculo de x1 se hace de tal manera que se a satisfaga la primera ecuaci´n: o
1
x1 xi
=
b1 − a12 x2 + a13 x3 + · · · a1n xn a11
0
0
0
0
,
1
= xi , i = 2, 3, . . . , n.
En la segundasub-iteraci´n se modifica unicamente x2 . Las dem´s coordeo ´ a nadas x1 , x3 , . . . xn no se modifican. El c´lculo de x1 se hace de tal manera a que se satisfaga la segunda ecuaci´n: o
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Introducci´n o
x2 xi
2
=
b2 − a21 x1 + a23 x3 + · · · a2n xn a22
1
1
1
1
,
2
= xi , i = 1, 3, ....
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