Generación de procesos estocásticos

NOTAS SOBRE LA GENERACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS
Jordi Ocaña Rebull

Contenido
1. 1.1. 1.2. 1.3. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Procesos de Poisson Procesos de Poisson homogéneos Procesos de Poisson no homogéneos Procesos de Poisson bidimensionales Generación de procesos gausianos Método de Cholesky Método condicional Método de Fourier Comparación de los métodos para generar procesos gausianos 3 33 7 9 9 9 11 12 12

Bibliografía

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GENERACIÓN DE PROCESOS ESTOCÁSTICOS 1. Procesos de Poisson

La generación de un proceso de Poisson o, más en general, un proceso de “vida” y/o “muerte” es asimilable a la generación del correspondiente proceso de los tiempos de “llegada”, T1, T2,…. 1.1. Procesos de Poisson homogéneos

Como es bien conocido, un proceso de Poisson homogéneo, con tasao frecuencia de “llegadas” l>0, constante, se puede simular a partir de la generación de una serie de “tiempos” Ti= Ti-1+(logRi)/l a partir de incrementos de tiempo iid con distribución exponencial de parámetro l, con densidad f(t)=lexp(-lt) para t>0. Esto es equivalente a que el proceso complementario de “contajes” de llegadas en un tiempo t, que indicaremos indistintamente Nt ó N(t), tengadistribución de Poisson de parámetro lt. 1.2. Procesos de Poisson no homogéneos

A menudo son más realistas los modelos basados en procesos de Poisson no homogéneos, en los que la tasa de llegadas es una función del parámetro de tiempo, l(t). Esta suposición se puede introducir estableciendo que la probabilidad de una o más llegadas en un tiempo dt a partir de t, es aproximadamente proporcional a dt,P {N t +dt - N t > 0} = l (t ) dt + o (dt ) P {N t +dt - N t > 1} = o (dt )

En este caso resulta que, para un tiempo prefijado t0, N ( t0 )   ( D ( t0 ) ) , con
D (t ) =

ò

t

0

l (u )du .

Los tres métodos más conocidos de generación de un proceso de Poisson no homogéneo de este tipo se basan en la modificación de la escala de tiempo, en el condicionamiento y en una adaptacióndel método de rechazo.

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1.2.1.

Cambio de la escala de tiempo

Supongamos que T1, T2, … son los tiempos de llegada según un proceso de Poisson no homogéneo. Si se realiza el siguiente cambio de escala de tiempo:
t=
T 0

ò

l (u )du = D (T ) ,

el proceso asociado a los tiempos t1, t2, … es un proceso de Poisson homogéneo con tasa de llegadas 1. Inversamente, el procesoasociado a los tiempos
T1 = D-1 (t1 ), T2 = D-1 (t2 ), 

(1.1)

donde t1, t2, … corresponden a los tiempos asociados a un proceso homogéneo de tasa 1, es un proceso de Poisson no homogéneo de tasa l(t). Las transformaciones (1.1) sugieren un método obvio de generación, cuya aplicabilidad depende fuertemente de la forma de l (y por lo tanto de D etc.). Se detendrá la generación del proceso homogéneocuando deje de cumplirse la condición ti £ D ( t0 ) . Como ejemplo de este método supongamos que l(t) = exp(a + bt). En este caso,
t = D (T ) = e a bt (e - 1) b

ò

T

0

e a +budu =

y, por lo tanto,
T = D-1 (t ) = 1 log (1 + bte -a ) . b

1.2.2.

Métodos basados en el condicionamiento

Condicionado a N(t0)=n, los tiempos de llegada corresponden a los valores del estadísticoordinal T(1), T(2),…, T(n), generados a partir de la distribución

ì 0 si u t. ï ï î

(1.2)

Una vez generado el valor n a partir de una distribución de Poisson de parámetro D(t0), el problema reside en cómo generar valores ordenados a partir de la distribución (1.2). Una posibilidad está en el método de inversión:

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supongamos que hemos conseguido generar el estadístico ordinaluniforme,
(0,1), R(1), R(2), , R n . Dado que
( )

(

)

D T(i )

D (t )

( )=R
(

(i )

tenemos que
T(i ) = D-1 D (t ) R(i ) .

)

(1.3)

Una forma eficiente de generar el estadístico ordinal uniforme (ascendente) se basa en el método condicional. En efecto, la distribución marginal de R(1) permite indicar:
H 1 (r1 ) = P R(1) > r1 = (1 - r1 ) R1 = H 1 R(1) = 1 - R(1) ,

{...