Generación De Variables Aleatorias

Páginas: 5 (1209 palabras) Publicado: 18 de diciembre de 2012
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de una distribución uniforme (0,1), visto en el tema anterior. En este capítulo vamos a estudiar ciertas transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores de otras distribuciones.
Introducción
Buscamos métodos que nos permitan obtenervalores de variables aleatorias que sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los números aleatorios generados, que siguen la distribución Uniforme en el intervalo (0,1).
Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones.
La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el costecomputacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen.
Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unoscon otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.
Métodos concretos para distribuciones continuas
Distribución Uniforme
La distribución uniforme en el intervalo (a,b) (U(a,b)) tiene como función de densidad y de distribución las siguientes:

La media de la distribución esy la varianza
Como los números aleatorios que generamos siguen la distribución uniforme en el intervalo(0,1), para generar valores de una distribución uniforme en cualquier intervalo (a,b) sólo tenemos que hacer un cambio de intervalo:

La distribución uniforme es usada como modelo en primera aproximación, para cantidades aleatorias que varía entre a y b.
Distribución Normal o de Gauss
La función de densidad normal (o gaussiana) fue propuesta por C.F. Gauss (1977-1855) como modelo para ladistribución de frecuencia relativa de errores, como los errores de medición. Esta curva con forma de campana es un modelo adecuado para las distribuciones de frecuencia relativa de datos recabados de muchas áreas científicas diferentes y modela las distribuciones de probabilidad de muchas estadísticas que utilizaremos para hacer inferencias.
La variable aleatoria normal posee una función de densidadcaracterizada por dos parámetros, su media y su varianza ( m y s2 respectivamente). La media m mide la ubicación de la distribución y la desviación estándar s mide su dispersión.
La distribución Normal tiene como función de densidad la siguiente:

No es posible obtener una expresión de forma cerrada para la integral de la función de densidad normal. Sin embargo, podemos calcular áreas bajo lanormal utilizando procedimientos de aproximación y el siguiente teorema:
Teorema: Si y es una variable aleatoria normal con media µy varianza σ2, entonceses una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1.
Quizás la más importante distribución continua no uniforme es la distribución normal con media 0 y desviación típica 1. Dicha distribución es llamada, a menudo, distribución normal unidad oestándar.
La inversa de su función de distribución no es fácil de calcular, pero hay otros métodos para obtener valores de ella.
Método Polar
Se usa para generar valores de la distribución N(0,1), hay dos aproximaciones diferentes de dicho método:
1) Propuesta de Marsaglia y Brax:
Se inscribe un círculo de radio 1 en un cuadrado de lado 2, se generan números aleatorios aceptando como salidasaquellos que caen dentro del círculo y rechazando los que caen dentro del cuadrado pero fuera del círculo.
El algoritmo es el siguiente:

2) Propuesta de Box y Muller:
En este caso el algoritmo es el siguiente:
Genera u1, u2 (dos números aleatorios en (0,1)

Convolución:
Vamos a ver una serie de propiedades de la distribución normal y un teorema que nos van a servir para generar valores...
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