Generadores De Espacios Vectoriales

Generadores de espacios Vectoriales

Sea V un espacio vectorial y α={V₁, V₂…Vn} с V. El conjunto generador Gen(α) = Gen(V₁, V₂…Vn) todas las combinaciones lineales de elementos en α y definidospor:

Gen(α) = (C₁V₁,+C₂V₂+…+Cn Vn) | Ci perteneciente a F para toda i = 1,2….n en un subespacio de V.

Decimos que estos vectores generan un subespacio Gen(α) de V, o que los vectores son unconjunto generador para Gen(α). En general, decimos que α genera W si W= Gen(α), en otras palabras, un conjunto α es un generador de un espacio W si cada vector de W es una combinación lineal devectores en α.

En general, un conjunto generador para Rⁿ ó ₵ⁿ está dado por

{(1,0,0…0), (0,1,0…0), (0,0,1…0), (0,0,0…1)}

Un conjunto generador para Pⁿ está dado por

{1, x, x²…xⁿ}

Todoespacio tiene un número infinito de posibles generadores.

Independencia y dependencia lineal

Considere un espacio V, un conjunto α= ={V₁, V₂…Vn} с V y la ecuación lineal X₁V₁+X₂V₂…+XnVn=0Donde los números X₁, X₂, Xn, son incógnitas cuyos valores deseamos determinar. En otras palabras, deseamos saber qué combinaciones lineales de vectores en α dan el vector 0.

Obviamente, si x1 = x2 =…= 0 la combinación lineal correspondiente da 0 (se dice que la combinación lineal es trivial). Pero nos preguntamos si hay soluciones en las que no todos los coeficientes sean cero.

Dado un espaciovectorial V y un conjunto α = {v1; v2; :::vn} c V decimos que α es linealmente independiente (o que los vectores en α son linealmente independientes) si x1v1 + x2v2 + …xnvn = 0 x1 = x2 = …xn = 0
Porotro lado, decimos que α es linealmente dependiente (o que los vectores en α son linealmente dependientes) si hay números x1; x2…xn , no todos cero, y tales que

x1v1 + x2v2 + …xnvn = 0

Sea V unespacio vectorial, S = {v1; v2; …vn} un subconjunto de V que es linealmente independiente y T un subconjunto de S. Entonces T también es independiente.

Sea V un espacio vectorial, S = {v1; v2;...