Generalidades ecuaciones diferenciales

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Generalidades

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§2

ED Lineal de Orden arbitrario
En esta obra y para evitar repeticiones, desde ahora:

n Ω a 0 , a1 ,L , a n , h

es un número natural (n ∈ Ν = { ,2, K}) 1 es un intervalo abierto de números reales. son funciones reales continuas sobre Ω , escribimos a0 , a1 , L , a n , h ∈C (Ω )

Las ecuaciones diferenciales tratadas tienen orden n , por lo tanto las solucionesesperadas deberán tener derivada hasta el orden n continuas sobre algún intervalo abierto Ω , para resumir esto introducimos la siguiente:

Definición 2.1

Funciones con derivada de orden n continua

Denotamos al conjunto de funciones con derivada hasta el orden n continua sobre Ω con:

C n (Ω ) = f : Ω → ℜ / f (n ) es continua sobre Ω
Una función de este espacio es llamada “función declase C
n

{

}

(Ω ) ”

Definición 2.2

ED lineal, ED no homogénea, ED homogénea, ED normal, orden, solución

Una ED Lineal de orden n en Ω tiene forma:

an ( x ) ⋅ y (n ) + L + a1 ( x ) ⋅ y ′ + a0 ( x ) ⋅ y = h ( x )

a0 , a1 ,L , a n an h y = y(x )

son los coeficientes de la ED. es el coeficiente principal. Suponemos an ( x ) ≠ 0 para algún x ∈ Ω . se llama función externa oentrada. es la función incógnita, se supone que y = y ( x ) depende de la variable independiente x ,

Una ED Lineal HOMOGÉNEA de orden n en Ω tiene forma: Una ED es Normal cuando an ( x ) ≠ 0 para todo x ∈ Ω . Según los coeficientes se clasifican en: ED con coeficientes variables ED con coeficientes constantes

an ( x ) ⋅ y (n ) + L + a1 ( x ) ⋅ y ′ + a0 ( x ) ⋅ y = 0

si al menos uno de loscoeficientes es variable (depende de x ) si todos los coeficientes son constantes.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias lineales de orden n. Ejercicios resueltos por Julio Céspedes

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Una función conocida y = f ( x ) P1 P2

1

es una solución de la EDL si tiene las propiedades:

y ∈ C n (Ω ) esto es, tiene derivada continua hasta el orden n (2)
al sustituirla junto con susderivadas en la ED:

an ( x ) ⋅ y (n ) + L + a1 ( x ) ⋅ y ′ + a0 ( x ) ⋅ y = h ( x )
se obtiene una identidad para todo x ∈ Ω .

Notación Utilizaremos las siguientes formas equivalentes de las EDs lineales: •

a n ( x )D n y + L + a1 ( x )Dy + a0 ( x ) y = h( x )

Dk y =

dk y dx k

es derivada de orden k de y respecto a x

• • •

(a (x)D
n

n

+ L + a1 ( x )D + a0 ( x ) ( y ) = h( x)

)

donde se escribe una única vez la incógnita y donde se omite el argumento x en los coeficientes
n

(an D n + L + a1D + a0 )( y ) = h(x )
L ( y ) = h( x )

asumiendo que L es el Operador Diferencial L = a n ( x )D + L + a1 ( x )D + a 0 ( x )

La notación L( y ) = h( x ) es cómoda, pero ambigua porque no deja ver el orden ni los coeficientes de la ED, por ejemplo si L, M sonoperadores diferenciales entonces debemos suponer:

L = a n D n + L + a1 D + a0 M = bm D m + L + b1 D + b0
es decir, no necesariamente tienen el mismo orden ni los mismos coeficientes.

Teorema 2.1

Principio de superposición (combinación lineal de soluciones, también es solución) en Ω ,

n Si {y1 , y 2 , L , y k } son soluciones de la ED homogénea: an D y + L + a1Dy + a0 y = 0

Entonces lacombinación lineal: y = C1 y1 + C2 y 2 + L + Ck y k también es solución de la misma ED, para cualesquiera constantes C1 , C2 , L , Ck .

1 2

Utilizamos la misma letra “

y ” para denotar tanto incógnitas como soluciones conocidas.

En esta obra asumimos que todas las funciones tienen esta propiedad, por lo tanto no se demuestra.

Generalidades

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Demostración Las funciones {y1 ,y 2 , L , y k } son soluciones de la ED homogénea en términos de ecuaciones se escribe:

⎧ an D n y1 + L + a1Dy1 + a0 y1 = 0 ⎪ ⎪ an D n y 2 + L + a1Dy 2 + a0 y 2 = 0 ⎨ M ⎪ n ⎪a D y + L + a Dy + a y = 0 ⎩ n k 1 k 0 k
Para llegar al implicado de que las funciones y = C1 y1 + C2 y 2 + L + Ck y k son soluciones de la ED, sustituya en:

an D n y + L + a1Dy + a0 y = a n D n (C1 y1 + L + Ck y k )...
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