Geo analitica

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8 ejercicios resueltos de Superficies.

Ecuaciones cuadráticas:
Son del tipo Ax2 + By2 + Cz2 = D y Ax2 + By2 + Iz = 0
La primera puede escribirse:

Por ser simétrica respecto al origen, esta es una superficie con centro.
La segunda puede escribirse:

Esta ecuación no es simétrica respecto al origen, por lo que no tiene centro. Como hay valores de las variables que impiden que hayasuperficie, tiene un vértice.

Superficies esféricas:
En la ecuación primera, si a = b = c, es una superficie esférica:
x2 + y2 + z2 = a2
Tiene centro en el origen. Si el centro es (h, k, j), la ecuación de la superficie esférica es:
(x – h)2 + (y – k)2 + (z – j)2 = a2

Simetrías:
Para ver la simetría de una superficie respecto a los ejes y planos coordenados y al origen, en laecuación se cambia de signo cada variable y se analiza si varía la ecuación. Si varía, no es simétrica respecto de los ejes y planos coordenados y al origen según corresponda.

Coordenadas esféricas:
Transformaciones: x = r sen Φ cos θ, y = r sen Φ sen θ, z = r cos Φ
Φ = colatitud θ = longitud

Superficie cilíndrica:
Es generada por una “generatriz” que se mueve a través de una “directriz”.La directriz es una curva de la forma, por ejemplo, f (x, y), z = 0, cuando está sobre el plano XY. La generatriz es una recta que tiene un punto P’ que pertenece a la generatriz.

Coordenadas cilíndricas:
Transformaciones: x = r cos θ y = r sen θ z = z
El ángulo θ es el formado entre la proyección del radio vector del punto P y el eje de las X.

Superficie cónica:
Es generada por una“generatriz” que se mueve de tal manera que pasa siempre por una curva fija y por un punto fijo, no contenido en el plano de esa curva.
Una ecuación representa una superficie cónica con vértice en el origen, si es homogénea en las tres variables x, y, z y es de grado no menor de dos. Que una ecuación sea homogénea significa que todos los términos de ella son del mismo grado.

Superficie derevolución:
Es engendrada por la rotación de una curva plana (generatriz) en torno de una recta fija (eje o eje de revolución) contenida en el plano de esa curva. Cualquiera posición de la generatriz se llama se llama sección meridiana o meridiano y cada circunferencia descrita por un punto de la generatriz se llama paralelo de la superficie.

La ecuación de una superficie de revolución se obtienesustituyendo en la ecuación plana de la generatriz la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las dos variables no medidas a lo largo del eje de revolución (eje coordenado)en lugar de aquella de estas dos variables que aparece en la ecuación plana de la generatriz.

Superficie reglada:
Una superficie reglada es aquella generada por el movimiento de una línea recta (generatriz). Ejemplos deestas superficies son 1) el plano; 2) la cilíndrica; y, 3) la cónica.

1.- (Ecuaciones cuadráticas) Analizar y dibujar la superficie:

Solución.

Esta superficie es simétrica con respecto tanto a los planos coordenados como al origen, ya que si se cambia x por – x, y por – y, z por – z, la ecuación no varía.

La superficie tiene las intersecciones:

Para y = z = 0 ► x = ± 5
Para x = z = 0 ►y = ± 4
Para x = y = 0 ► z = ± 3

Las trazas son:

Plano XY; z = 0

En el plano XY la traza es una elipse. Sus semiejes son a = 5 y b = 4.

En los planos XZ e YZ también las trazas son elipses.

La superficie es cerrada y no tiene extensión más allá de las elipses.

Podemos dibujar la superficie:

2.- (Superficie esférica) Hallar las coordenadas del centro y el radio de lasuperficie esférica x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 3z = 15.

Solución.

Completemos los cuadrados de los binomios:

x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 3z = 15
x2 – 6x + y2 + 4y + z2 – 3z = 15
x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 + z2 – 3z + 9/4 = 15 + 9 + 4 + 9/4
(x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 3/2)2 = 28 + 9/4 = 112/4 + 9/4 = 121/4
(x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 3/2)2 = 121/4

De aquí se deduce que el centro es C (3, – 2,...
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