Geodesicas

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C´lculo de Geod´sicas en Superficies de Revoa e luci´n o
Superficies de Revoluci´n o
Sea S ⊆ R3 la superficie de revoluci´n obtenida al girar una curva regular o del plano XZ que no corte al eje Z alrededor del mismo. Si la curva est´ parametrizada en la forma x = u(θ), y = 0, z = v(θ), a con u(θ) = 0, entonces la superficie S admite una parametrizaci´n regular o mediante la aplicaci´n: o R2 − → R3(ϕ, θ) → (u(θ) cos ϕ, u(θ) sin ϕ, v(θ)) Esta parametrizaci´n regular permite usar (ϕ, θ) como sistema de cooro denadas locales en cualquier punto de la superficie S. La m´trica inducida en S por la m´trica T2 = dx ⊗ dx + dy ⊗ dy + dz ⊗ dz e e 3 de R es: g = τ ∗ (T2 ) = u2 (θ)dϕ ⊗ dϕ + (u′ (θ)2 + v ′ (θ)2 )dθ ⊗ dθ Luego las matrices asociadas a g y a g −1 en la base
∂ , ∂ ∂ϕ ∂θ τ

son:

g≡u2 (θ) 0 , ′ 2 0 u (θ) + v ′ (θ)2

g −1 ≡

1 u2 (θ)

0
1 u′ (θ)2 +v ′ (θ)2

0

Usando la expresi´n en coordenadas locales de los s´ o ımbolos de Christoffel: Γk = ij 1 2

g kl
l

∂gil ∂gjl ∂gij − + ∂xl ∂xi ∂xj

Obtenemos para nuestra variedad S y sistema de coordenadas (ϕ, θ) los siguientes s´ ımbolos de Christoffel: Γϕ = 0, ϕϕ Γθ = ϕϕ −u(θ)u′ (θ) u′ (θ)2 + v ′ (θ)2

Γϕ = Γϕ = ϕθθϕ

u′ (θ) , u(θ)

Γθ = Γθ = 0 ϕθ θϕ Γθ = θθ u′ (θ)u′′ (θ) + v ′ (θ)v ′′ (θ) u′ (θ)2 + v ′ (θ)2

Γϕ = 0, θθ

Llamamos geod´sica a toda curva σ : R → S cuyo vector tangente D = e ∂ σ∗ ∂t cumpla ∇D D = 0.

1

En un sistema de coordenadas cualquiera, si la curva se expresa como ∂ σ(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), y si se extrae la componente en ∂xi de ∇D D = 0, obtenemos: ∂xj ∂xk ∂ 2 xi=0 + Γi jk ∂t ∂t ∂t2 j,k

En nuestro caso, usando los correspondiente s´ ımbolos de Christoffel, concluimos que una curva σ(t) = (ϕ(t), θ(t)) es geod´sica si y s´lo si: e o 0 = ϕ′′ + 2u′ (θ) ′ ′ ϕθ u(θ) u′ (θ)u′′ (θ) + v ′ (θ)v ′′ (θ) ′ ′ u(θ)u′ (θ) θθ ϕ′ ϕ′ + 0 = θ′′ − ′ 2 u′ (θ)2 + v ′ (θ)2 u (θ) + v ′ (θ)2

Es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con dosinc´gnitas: las funciones ϕ(t) y θ(t). Veamos c´mo podemos expresarlas o o en una forma m´s simple. a Como sabemos, la ecuaci´n ∇D D = 0 en la direcci´n del campo D es o o f´cil de integrar: a ∇D D = 0 ⇒ (∇D D)·D = 0 ⇔ D(D ·D) = 0 ⇔ ∂ (D ·D) = 0 ⇔ D ·D = cte ∂t

As´ que la ecuaci´n ∇D D = 0, al tomar componente en la direcci´n D, ı o o produce una ecuaci´n de segundo orden que se integra f´cilmente auna de o a primer orden: D · D = cte. Si estamos calculando la geod´sica en un punto y una direcci´n para la e o ∂ ′ ∂ ′ ∂ que se sepa que ∂ϕ y D = ϕ ∂ϕ + θ ∂θ son linealmente independientes, las componentes de ∇D D en dichas direcciones nos dan:  ′  0 = ϕ′′ + 2u (θ) ϕ′ θ′ u(θ) ∇D D = 0 ⇔  2 cte = u (θ)(ϕ′ )2 + u′ (θ)2 + v ′ (θ)2 (θ′ )2

Las unicas curvas que no tienen puntos con estascaracter´ ´ ısticas son aque′ llas para las que θ = 0. Estas curvas son los paralelos θ(t) = cte, y sustituyendo en las ecuaciones originales, son geod´sicas si e

0 = ϕ′′ (t),

0 = (ϕ′ (t))2

u(cte)u′ (cte) u′ (cte)2 + v ′ (cte)2

o o Puesto que u(cte) = 0, la segunda ecuaci´n se verifica s´lo si ϕ(t) = cte′ (que ′ ´ determina un punto y no una curva), o para u (cte) = 0. Los unicos paralelos

2 a e θ = cte que son geod´sicas son aquellos donde el radio u(cte) sea m´ximo o m´ ınimo relativo. Volviendo al caso general: 2u′ (θ) ′ ′ ϕθ 0=ϕ + u(θ) cte = u2 (θ)(ϕ′ )2 + u′ (θ)2 + v ′ (θ)2 (θ′ )2
′′

La primera ecuaci´n puede integrarse: o 0 = ϕ′′ +

k −2u′ (θ) ′ ϕ′′ 2u′ (θ) ′ ′ θ ⇔ log (ϕ′ (t)) = −2 log (u(θ(t)))+cte ⇔ ϕ′ (t) = 2 ϕθ ⇔ ′ = u (θ(t)) u(θ) ϕ u(θ)

Luego si somos capacesde obtener θ(t), integrando se obtiene ϕ(t). Sustituyendo ahora en la segunda ecuaci´n, obtendremos: o cte = u2 (θ) k 2 (θ) u
2

+ u′ (θ)2 + v ′ (θ)2 (θ′ )2 ⇔ θ′ =

u(θ)

cte · u2 (θ) − k 2

u′ (θ)2 + v ′ (θ)2

Si sabemos resolver esta ecuaci´n diferencial de primer orden en θ(t) o obtendremos la geod´sica, con su parametrizaci´n. e o Por otra parte, en muchas ocasiones s´lo nos...
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