Geometria analitica en el espacio

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GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS – AÑO 2009 TEMA I: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Objetivos Conocer y aplicar las operaciones fundamentales con vectores. Caracterizar analíticamente y geométricamente rectas, planos, superficies de revolución y cuádricas en general. Describir y aplicar los sistemas de coordenadas espaciales más comunes y utilizar paquetes de software, por ejemplo Maple V, comoherramienta para graficar.

CONTENIDOS: Breve repaso de vectores. Representación geométrica de vectores. Producto escalar, producto vectorial, producto mixto y doble producto vectorial. Ecuaciones de rectas y planos. Aplicaciones. Ecuación general de las cuádricas. Representación gráfica de las cuádricas. Superficies cilíndricas. Superficies de revolución. Invariantes. Representación desuperficies en distintos sistemas de coordenadas en
ℜ2 y en ℜ3 .

PREGUNTAS DE REPASO I. II. III. V. ¿Qué interpretaciones geométricas o físicas tiene el producto punto? ¿y el producto vectorial o cruz? ¿Cuándo es igual a cero el producto cruz entre dos vectores?, ¿y el producto punto? ¿Qué es el producto mixto? ¿Qué significado tiene? ¿Cómo se evalúa? ¿Qué son las superficies cuádricas?

IV. ¿Quétipo de ecuaciones conoce para describir planos y rectas en el espacio? VI. Describa el método de los invariantes y explique cuál es su utilidad. VII. ¿Cómo se definen las coordenadas cilíndricas y esféricas?

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto

I.1

VIII. ¿Qué es un cilindro? De ejemplos de ecuaciones que definan cilindros en coordenadas cartesianas ycilíndricas. IX. X. XI. ¿De qué ecuaciones se dispone para cambiar de un sistema coordenado espacial a otro? Escriba el conjunto de ecuaciones que describen el sistema de coordenadas cilíndricas. Bosqueje las superficies y las curvas coordenadas correspondientes a un punto P . Escriba el conjunto de ecuaciones que describen el sistema de coordenadas esféricas. Bosqueje las superficies y lascurvas coordenadas correspondientes a un punto P .

EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN EN CLASE 1. a) Calcule el ángulo entre una diagonal de un cubo y uno de sus lados. b) Calcule el ángulo entre una diagonal de un cubo y una diagonal de sus caras. 2. Calcule el área del triángulo con vértices en P (1,4 ,6) , Q (−2 ,5,−1) , R (1,−1,1) .

3.

Verifique si la recta

x − 2 y +1 z −1 se halla contenida enel plano 5 x + y + z = 0 . = = 2 12 13

4.

Encuentre el ángulo entre los planos x + y + z = 1 ecuación de la recta intersección.

y

x − 2 y + 3 z = 1 y determine la

5.

Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 3 x − y + 2 z = 5 Calcule el volumen del cubo.

y 3x − y + 2z = 7 .

6.

Hallar el punto de intersección de la recta

x − 3 y −1 = = z con el plano 2 x + y −z = 1. 2 3

7.

Nombre y dibuje la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 − (z − 2 ) = 0 .

8.

Las torres de enfriamiento para los reactores nucleares se construyen frecuentemente en forma de hiperboloides de una hoja, debido a la estabilidad estructural de esa superficie. Suponga que todas las secciones transversales horizontales son circulares, con un radio mínimo de 600 m. La torre va atener 2400 m de alto, con un radio seccional transversal horizontal máximo de 900 m. Halle una ecuación para la estructura.

I.2

Cálculo II – Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Río Cuarto

9.

Determine las superficies de revolución que se obtienen al girar el semicírculo superior
z = a2 − y2 ,

a) b)

alrededor del eje z alrededor del eje y

10. ¿Cuáles de lassiguientes superficies cuádricas son superficies de revolución? Identifique el eje de revolución. a) x 2 + y 2 = z d) y = 4 x 2 − z 2 g) y 2 + 5 z 2 = x 2 j)
− x2 + 9y 2 + z 2 = 9

b) 9 x 2 + 36 y 2 + 4 z 2 = 36 e) 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 100 h) − 9 x 2 + 16 y 2 = 144 z 2 k) 36 x 2 − y 2 + 9 z 2 = 144

c) x 2 + y 2 − z 2 = −4 f) 9 z + x 2 + y 2 = 0 i)
x2 − y2 − z 2 = 4

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