Geometria analitica

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Índice
3. Marco teórico. 3
3.1 Definición de hipérbola 3
3.2 Elementos de la hipérbola 4
Focos 4
Eje focal 4
Eje secundario o imaginario 4
Centro 4
Vértices 4
Radios vectores 5
Distancia focal 5
Eje mayor 5
Eje menor 5
Ejes de simetría 5
Asíntotas 5
Relación entre los semiejes 5
3.3 Ecuación de la hipérbola con C (0,0) 6
3.1.1 Ejemplo 1. 7
3.3.2 Ejemplo 2. 7
3.3.3 Ejercicio. 83.4 Ecuación de la hipérbola con C (h, k). 9
3.4.1 Ejemplo 1 9
3.4.2 Ejemplo 2 9
3.4.3 Ejercicio. 10
3.5 Aplicaciones a la vida cotidiana de la hipérbola. 11
Propiedad Óptica 11
Sistema de navegación LORAN 11
Trayectorias de cometas. 11
El reloj de sol 11
4. Conclusiones 13
5. Bibliografía. 14

3. Marco teórico.
3.1 Definición de hipérbola
Hipérbola (del griego ὑπερβολή) es unasección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempreigual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.


3.2 Elementos de la hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.


Figura 1. Elementos de la hipérbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario oimaginario
Es la mediatriz del segmento .
Centro
Es el punto de intersección de los ejes.
Vértices
Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
Radios vectores
Son los segmentos que van desde un punto de lahipérbola a los focos: PF y PF'.
Distancia focal
Es el segmento de longitud 2c.
Eje mayor
Es el segmento de longitud 2a.
Eje menor
Es el segmento de longitud 2b.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas
Son las rectas de ecuaciones:
Relación entre los semiejes


3.3Ecuación de la hipérbola con C (0,0)
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma compleja.


Figura 2 Hipérbola con C (0,0)
Demostración:
Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que:

ó
De donde,
ó
Es decir,
Equivalentemente,usando la fórmula de distancia, se puede escribir:


Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:


Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:


Recordando además que y al dividir ambos miembros de la última igualdad por , se obtiene finalmente, que correspondea la ecuación pedida.
3.1.1 Ejemplo 1.
Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (4, 0), de vértice A (2, 0) y de centro C (0, 0).



3.3.2 Ejemplo 2.
Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F (5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.



3.3.3 Ejercicio.
Hallar las coordenadas de los vértices y de losfocos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola
9x2 - 16y2 = 144.







3.4 Ecuación de la hipérbola con C (h, k).
Se considera el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente, se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación en:



Según que el eje focal sea una recta paralela al eje x o al eje y respectivamente....
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