geometria analitica

Asignatura: Matemáticas
Carrera: Técnico de Nivel Superior en Prevención de Riesgos

Contenido: Elementos de Geometría Analítica

Elementos de Geometría Analítica

Plano Cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un
punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis ( x ), y la vertical, ejede las ordenadas o
de las yes, ( y ); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus
coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las ‘ X ’ y uno de las ‘ Y ’, respectivamente, esto
indica que un punto se puede ubicar en el planocartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se
representa como:

P = ( x, y )
Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o valor de x , se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son
positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero.
2. Desdedonde se localiza el valor de y , se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son
positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

Ejemplo:

Localizar el punto A(−4, 5) en el plano cartesiano.

Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que
esté en el planocartesiano.
Teorema:

Distancia entre dos Puntos.

Sean P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) dos puntos en el plano.
1

La distancia entre los puntos P y P2 denotada por d ( P , P2 ) se calcula por la fórmula:
1
1

d ( P , P2 ) =
1

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2

2

Demostración
En la figura siguiente hemos localizado los puntos P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) , así como también el1
segmento PP2
1

De la construcción en la figura y la relación
pitagórica se tiene que:
d ( P , P2 ) =
1

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )
2

2

Ejercicios
1.
Encuentre la distancia entre los puntos que se indican
a. P = ( −1, 0 ) y Q = ( 0,1 )
b. A1 =

( 1 , −1 ) y A
2

2

= ( 2, 3 )

2.

Halle el valor de p de modo que d ( P , P2 ) = 10 , si P = ( p, 0 ) ; P2 = ( 0,1)1
1

3.

Calcular el Perímetro del triangulo ABC con A = (1,3) ; B = ( −2,5 ) y C = ( −1, −3)

Teorema. El Punto Medio de un segmento P P2 .
1
El Punto medio del segmento P P2 donde P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) viene dado por la fórmula:
1
1

x +x y +y 
M = 2 1, 2 1 .
2 
 2
Demostración.
Observe la figura

Ejercicios:
1.- Encontrar las coordenadas del punto mediodel segmento AB en cada caso
a) A = (1,3) y B = ( −1,5 )
b) A1 =

1
( 2 , −1 ) y B = ( 1 , −5 )
3

2.- Determinar los valores de p, q ∈ , de modo que las coordenadas del punto medio del segmento AB
es igual a (2,3), donde A = ( p, 2q ) , B = ( −5, 3 )

Ecuación de la Recta.
• Ecuación general de la recta: ax + by = c , con a, b y c constantes reales.
• Ecuación de recta con pendientee intercepto con el eje y : y = mx + n
El valor de m corresponde a la pendiente de la recta, y n es el coeficiente de posición
En general las rectas se denotan por la letra L acompañada de un subíndice.
Ejemplos:
1)
La ecuación y = 4 x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo que indica que interceptará al
eje y en el punto (0,7).
2)

¿Cuál es la pendiente y el coeficiente deposición de la recta 4 x − 6 y + 3 = 0 ?Desarrollo.

4x − 6 y + 3 = 0 → y =

2
1
2
1
x + de donde m =
y n=
3
2
3
2

Pendiente de una recta dados dos puntos
Cuando se tienen dos puntos cualesquiera P = ( x1 , y1 ) y P2 = ( x2 , y2 ) , la pendiente queda determinada por
1
la expresión:

m=

y 2 − y1
x 2 − x1

Ejemplo:
Calcular la pendiente de la recta que contiene a los...