Geometria analitica

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Geometría Analítica
En geometría analítica hay puntos que tienen posición mas no dirección, cuando se mueve un punto forma una línea, cuando la línea se mueve genera un plano y cuando un plano se mueve genera un cuerpo.
P(x,y)

Cuando tenemos una posición utilizamos el plano cartesiano en donde la correspondiente a las abscisas (X) y a las ordenadas (Y)

Distancia entre dos puntosGeométricamente la distancia entre dos puntos siempre es positiva
dP1P22= (X2-X1)2+(Y2-Y1)22
dP1P2= (X2-X1)2+(Y2-Y1)2
P2(x,y)
P1P2

P1(x,y)

DefiniciónSe llaman cónicas por que todas parten de un cono cortándolo en diferentes partes cortándolo en diferentes sentidos que dan orígenes a diferentes secciones

Línea Recta

Es un lugar geométrico que tiene como característica principal una pendiente constante es decir que cualquier par de dos puntos que se coja de la recta deben tener la misma pendiente.

Y2-Y1=m(X2-X1)

Dos puntosY-Y1=Y2-Y1X2-X1 (X-X1)

Ordenada al Origen
Y2-Y1=m(X2-0)
Y2-Y1=mX
y=mx + Y1
y=mx+b

Forma Simétrica
xa +yb=1

Forma General
Ax + By + C = 0

Ejercicios
1.-Demostrar que los puntos (-2,-1); (2,2); (5,-2) los vértices de un triangulo son isósceles
dAB=dBC=dAC
dAB
dAB= (2-(-2)2 + (2-(-1))2
dAB(2+2)2 +(2+1)2
dAB= (4)2+(3)2= (X2-X1)2+(Y2-Y1)2
dAB=16+9
dAB=25
dAB=5dBC=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2
dBC=(5-2)2+(2-(-2))2
dBC= (3)2+(4)2
dBC= 9+16
dBC=25
dBC=5

dAC= (X2-X1)2+(Y2-Y1)2
dAC= (5-(-2))2+ (-2-(-1))2
dAC=(5+2)2+(-2+1)2
dAC=(7)2+(-1)2
dAC=49+1
dAC=50
dAC=7.1

Los lados no tienen la misma distancia entonces no es un triangulo isósceles
2.-Demostracion (12,1); (-3,-2); (2,-1) son colineales es decir, que están sobre la misma líneadAC=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2
dAC=(2-12)2+(-1-1)2
dAC= (-10)2+(-2)2
dAC=100+4
dAC= 104
dAC=
dCB=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2
dCB=(2--3)2+(-1-(-2))2
dCB=(2+3)2+(-1+2)2
dCB=(5)2+(1)2
dCB=25+1
dCB=26




Paralelogramo.- Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos e iguales y sus angulos opuestos también son paralelos
3.- Demostrar que los cuatro puntos (1,1); (3,5);(11,6) y (9,2) son los vértices de u paralelogramo
Demostracion
AB=DC
(X2-X1)2+(Y2-Y1)2=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2
(3-1)2+(11-9)2=(11-9)2+(6-2)2
(2)2+(2)2=(2)2+(2)2
4+4=4+4
16=16
4 = 4
BC=AD
(X2-X1)2+(Y2-Y1)2=(X2-X1)2+(Y2-Y1)2
(11-3)2+(6-5)2=(9-1)2+(2-1)2
(8)2+(1)2=(8)2+(1)2
64+1=64+1
65=65

4.-Hallar los puntos de la trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos sonlos puntos (-2,3) y (6,-3)
Pm=X1+X22 Pm=Y1+Y22
Pm=-2+62 Pm=3+(-3)2
Pm=42 Pm=02
Pm=2 Pm=0

Pm = (2,0)

ABBD= 12
X=X1+rX21+r Y=Y1+rY21+r
X=-2+12(6)1+12 Y= 3+12(-3)1+12
X=132 Y=3-3232
X=23Y=3232
X=23 Y=1
P1 (23,1)

X=X1+rX21+r Y=Y1+rY21+r
X=-2+1261+2 Y= 3+2-31+2
X=-2+123 Y=3-63
X=103 Y=33
P2(103,1)


5.-Los puntos medios de los lados de un triangulo son (2,5); (4,2) y (1,1).Hallar las coordenadas de los tres puntos.
1X1+X32=1 1 X1+X3=2
2X2+X32=4 2 X2+X3=8
3 X1+X22=2 3 X1+X2=4
Sistema de ecuaciones
1 X1+X3=2
2 X2+X3=8


1 -1 - X1 -X3=-2
2 X2+X3=8
4 - X1+X2=6

4 - X1+X2=6
3...
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