Geometria euclediana

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1 Geometría De Ayer Y Hoy

2 Trabajo final: Resultados de Geometría Euclediana

E.T.S.I.A
Madrid, 14 de febrero de 2004

Postulados Generales

Postulado de la recta: por dos puntos es posible exactamente trazar una recta.

Postulado de la intersección de rectas: la intersección de dos rectas es exactamente un punto.

Postulado del punto medio: en cualquier recta es posibleexactamente trazar el punto medio. Así podemos definir la mediatriz de un segmento como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los extremos definidores del mismo son iguales. La mediatriz es, por tanto, una recta perpendicular al segmento correspondiente que además para por el punto medio.

Postulado de la bisectriz de un ángulo: en cualquier ángulo es posible trazar una bisectriz. Se definebisectriz de un ángulo como el lugar geométrico de los puntos cuyas distancias a los lados del ángulo son iguales. Es, por tanto, una recta que divide al ángulo en dos partes iguales.

Postulado de las paralelas (Quinto postulado de Euclides): “Si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente seencontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos”. Esta formulación, que es la original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: “Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta”.

El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: uno, la existencia de una recta que pasa por el punto y que esparalela a la recta dada y dos, que esta recta es única.

Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo como teorema, pero no se ha conseguido (ni se conseguirá). Saccheri, Lambert, Legendre, Fourier y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el quinto postulado.

Postulado de las perpendiculares: Por un punto que no esté en una recta dada es posible trazar exactamente una rectaparalela a la recta dada.

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. De manera recíproca, si dos rectas son cortadas por una transversal formando alternos internos congruentes, entonces las rectas son paralelas

Teoremas De Ángulos

La suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual al valor de 2ángulos rectos.

Partiendo de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se cortan en el punto O.

COD = 180º
Según la figura: COD = AOD + AOC AOD + AOC = 180º

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

Partiendo, nuevamente, de la hipótesis de que AB y CD son dos rectas que se cortan en el punto O, se trata de demostrar que el ángulo formado por AOD es igual al formado por COBComo la suma de los ángulos adyacentes que una recta forma con otra es igual al valor de 2 ángulos rectos, podemos decir que:

COA + AOD = 180º
COA + COB = 180º → COA + AOD = COA + COB → AOD = COB

El Triángulo; Rectas Notables

Un triángulo es un polígono cerrado y convexo constituido por tres lados, y tres ángulos que suman 180º. Cuando los tres lados son iguales el triángulo se llamaequilátero, cumpliéndose la igualdad de los tres ángulos (suman 180º); cuando hay dos lados iguales y uno desigual se llama isósceles, cumpliéndose idéntica relación para los ángulos; cuando los tres lados son distintos el triángulo se denomina escaleno.

Un triángulo isósceles en el que el cociente entre uno de sus lados y el lado menor sea el número de oro se llama triángulo áureo. Los ángulos dela base del triángulo áureo miden 72º y el del vértice 36º.  

Cuando los ángulos son agudos, es decir, menores de 90º, el triángulo se llama acutángulo; cuando uno de sus ángulos mide 90º (recto) el triángulo se dice que es rectángulo; y cuando un ángulo es obtuso (mayor de 90º) se le llama obtusángulo.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º

A M

B C...
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