Geometria euclideana

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GEOMETRIA EUCLIDEANA

Un sistema formal es un conjunto que reúne:
- Elementos primitivos, que se aceptan sin una definición previa.
- Axiomas o postulados, son tautológicas, es decir, proposiciones
verdaderas o bien se aceptan como verdaderas.
- Teoremas, son propiedades que se derivan de los axiomas o bien
de una combinación de axiomas y que exigenuna demostración para
ser aceptados como verdaderos.
Ejemplos de sistemas formales
- Lógica simbólica
- Teoría de conjuntos
- Los números reales
- Geometría Euclidiana
Un sistema formal debe reunir las siguientes condiciones:
- Compatible si las proposiciones no son contradictorias
entre si.
- Independiente, si cada uno de lospostulados son independiente
entre si.
- Completo, si ninguno de los postulados en consecuencia de un o varios
de los ya enunciados o bien al agregar otro este no sea consecuencia
de los demás.

La Geometría Euclidiana como un sistema formal.

Axiomas de existencia, determinan la existencia de los elementos primitivos y son:

a) Existen los puntos y sedesignan por A, B, C , D , …..
[pic]
[pic]
b) Existen las rectas y se designan por [pic]
[pic]
c) Existen los planos y se designan por [pic]
[pic]
d) Existe un único espacio y se designa por
[pic]

Axiomas de conección o enlace, determinan el enlace entre los elementos primitivos.

a) Dados dos puntosdistintos, existe una única recta que los contiene.

[pic]

[pic]
Definición
Tres o más puntos son colineales si están en una misma recta.
[pic]

Ejemplos
1.- [pic]
2.- [pic] no colineales
[pic] Distintas
[pic]
b) Toda recta tiene a lo menos 2 puntos distintos
[pic]
[pic]

Ejemplos1.- Dados 4 puntos distintos no colineales 3 a 3. Encuentre
el número de rectas que se pueden obtener.

[pic]
[pic]

2.- Dados 5 puntos distintos, encuentre el número de rectas que se
pueden obtener.

Caso 1.- Si los 5 puntos son colineales entonces sólo se obtiene
una sola recta.

[pic]
[pic]

Caso 2.- Si 4 de lospuntos son colineales, se obtienen 5 rectas.
Solución gráfica
[pic]

Caso 3.- 3 puntos colineales solamente
Solución gráfica
[pic]
Los otros casos quedan para el lector
Definición: Rectas paralelas
[pic]
En el ejemplo anterior, caso 3:
[pic]
Observación
a) [pic]
b) [pic]
Proposición 1.-Dadas dos rectas distintas, no paralelas, existe un y sólo un punto común
[pic]
Demostración
[pic]
[pic]

c) Dados 3 puntos distintos , no colineales, existe un único plano que
los contiene.

[pic]
[pic]
Definición
Si 4 puntos distintos , no colineales 3 a 3, están en un mismo plano,
se dicen que soncoplanares.
[pic]
[pic]
Proposición 2.- Una recta y un punto que no pertenece a la recta determinan
un único plano.

[pic]

Demostración
[pic]

d) Dado un plano y un punto que no pertenece al plano, entonces
existe un único espacio.

[pic]
Definición
[pic]
[pic]
Porejemplo en la figura ;
[pic]

Proposición 3.-
[pic]
Demostración Se deja para el lector

Ejemplo gráfico de una geometría finita minimal.
[pic]

Definición
[pic]
[pic]

Proposición 4.-

[pic]
[pic]
Proposición 5.-
[pic]...
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