Geometria fractal

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LA GEOMETRIA FRACTAL

Geometría Fractal es geometría que no distingue entre conjunto matemático y objeto natural. Este nuevo paradigma engulle paradigmas anteriores proyectando un modelo que inagura una nueva zona o región de lo real.
Tómese un número complejo, multiplíquese por sí mismo y súmese el número inical; tómese el resultado, multiplíquese por sí mismo, súmese el inicial... y asísucesivamente. A esta iteración en principio errática se le asignan puntos sobre un plano. Disponga papel, lápiz y moneda con cara y cruz, fijemos ciertas reglas para cada lanzamieno; por ejemplo desplazar el punto X centímetros al noreste si sale cara y acercarse un 50% al centro inicial si sale cruz. Se perfila, progresiva y sorprendentemente el dibujo de la hoja de helecho (véase fig. 1) mientrasel ordenador hace esta tarea menos ardua en pantalla y en décimas de segundo.

“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
 
BREVE HISTORIA DE LA GEOMETRÍA FRACTAL:Si Mandelbrot representa el enfoque moderno de la matemática y es considerado padre de la geometría fractal debemos remontarnos a 1935cuando se funda la célebre escuela Bourbaki, organizadora del nuevo pensamiento matemático. Sus miembros fundadores eran: André Weil, Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel y Szolem Mandelbrojt, colaboradores de Nicolas Bourbaki.
Los objetivos fundamentales de Bourbaki eran la reconstrucción del edificio matemático sobre basesaxiomáticas. Sus trabajos cristalizaron en la redacción de una enciclopedia, “Éléments de Mathematique”.
En 1945, Szolem recomienda a su sobrino Benoît la lectura de un escrito de 300 páginas de Gaston Julia (1893-1978) titulado “Mémoire sur l’iteration des fonctions rationelles”, precursor de la moderna teoría de sistemas dinámicos. Y, de acuerdo con las ideas de la escuela de la que formabaparte, añadió: “Olvida la geometría”.
El discípulo Mandelbrot no se interesó mucho por la lectura recomendada por su maestro, bien por la clase de problemas planteados por su tío acerca de aquella, o porque Benoît enfocaba las Matemáticas desde un punto de vista muy diferente. Adicionalmente, hizo caso omiso de la recomendación acerca de la geometría. Por otra parte, Benoît recobró interés por lapublicación mencionada en 1970. Con ayuda de las facilidades computacionales puestas a su disposición por IBM a partir de 1957 en el centro de investigación Thomas J. Watson, contribuyó a crear las ilustraciones de su ensayo de 1975. Y, curiosamente, en 1980, con ayuda de un ordenador VAX, pantalla Tektronix y hardcopy Versatac, sorprendió a la comunidad científica con el primer dibujo detallado deun gráfico deducido de la evolución del sistema dinámico en el campo complejo.
Barnsley descubre esta dinámica en 1985 sin usar números complejos recurriendo a la aleatoriedad del juego del caos.

Fractal

En la naturaleza también aparece la geometría fractal, como en este romanescu.
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite adiferentes escalas.[] El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal.
A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:[]
* Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
* Posee detalle a cualquierescala de observación.
* Es auto similar (exacta, aproximada o estadística).
* Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
* Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No nos basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto...
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