Geometria matematicas

Páginas: 12 (2785 palabras) Publicado: 19 de marzo de 2013
GEOMETRÍA
1. Junio 1998. Dados los sistemas

x  2 y  z  0
S1 : 
x  y  8

x  z  6
S2 : 
2 x  2 z  12

a) Halla las soluciones comunes.
b) Haciendo uso únicamente del número de soluciones obtenidas en el apartado anterior ¿Puede cada uno
de los sistemas definir los puntos de un plano?. Razona la respuesta.
2. Junio 1998. Los puntos P(1, 1, 0) y Q(0, 2, 1), son dosvértices contiguos de un rectángulo.

y  0
z  1

Un tercer vértice pertenece a la recta r : 

a) Determina los vértices de un rectángulo que verifique las condiciones anteriores.
b) ¿Qué posición relativa debería tener la recta r y la que contiene al segmento PQ, para que la solución
fuese única?. Razona la respuesta.
3. Septiembre 1998. Sea v = (1, 2), solución de un sistema homogéneocon matriz de coeficientes A,
cuadrada y de orden 2 y con todos los elementos no nulos.
a) ¿Cuál es el rango de A? Razona la respuesta.
b) Utilizando todos los elementos de la matriz A, construir dos vectores perpendiculares a v.
c) ¿Es posible que los vectores construidos en el apartado anterior no sean uno mú ltiplo del otro?
4. Septiembre 1998. Los puntos P(2, 0, 0) y Q(0, 4, 2) son dosvértices de un triángulo isósceles.

 z  20
.
y  0

Obtener las coordenadas del tercer vértice sabiendo que pertenece a la recta r : 
¿Es única la solución?. Razona la respuesta.

5. Junio 1999. Los puntos P(1, –1, 1) y Q(3, –3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está
contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0
a) Determina los vértices restantes.
b)Calcula la ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados.
c) Calcula el perímetro del cuadrado construido.

 x
a
0    0 
a
6. Septiembre 1999. Dado el sistema 
 0 1  a a  y    0 



   
z

a) Determina para que valores de a el conjunto solución son los puntos de una recta.
b) Halla un valor de a para el que se pueda construir un cuadrado deárea 1 de modo que sus vértices
sean soluciones del sistema. Razona las respuestas.
7. Septiembre 1999. Los puntos P(0, 1, 0) y Q(–1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo y el tercero

x  4
.
z  1

S pertenece a la recta r : 

La recta que contiene a P y a S es perpendicular a la recta r.
a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo PQS.
8. Junio 2000. Lospuntos P(2, 1, 2) y Q(0, 5, 4) son dos vértices opuestos de un cuadrado contenido
en el plano de ecuación x + y – z = 1
a) Determina las coordenadas de los otros dos vértices.
b) Calcula la ecuación de la recta que contiene al origen de coordenadas y es paralela a la que contiene a
los puntos P y Q.

2 x  y  2 z  1
x  y  z  3

9. Septiembre 2000. Dado el sistema S  

a)Añade una tercera ecuación al sistema S de modo que la verifique el punto P(–4, 1, 0) y el sistema
formado por las tres ecuaciones tenga la misma solución que S.
b) ¿Pertenecen a un mismo haz de planos los definidos por cada una de las tres ecuaciones?. Justifica las
respuestas.

 x  y  z  1
6 x  3 y  10 z  6

10. Septiembre 2000. Sea la recta r : 

a) Calcula las coordenadas de lospuntos P y Q que pertenecen a la recta y distan 5 unidades del origen
de coordenadas.
b) Sea M el punto medio del segmento de extremos P y Q. Calcula sus coordenadas
c) Justifica porqué de todos los puntos de la recta r, M es el más próximo al origen de coordenadas.
11. Junio 2001. Dada la recta r de ecuación x  1  y  2 

z 3
y el punto P(1, 2, 1), calcula:
4

a) la ecuación de larecta que pasa por P, es perpendicular a r y se apoya en r.
b) las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto a r.
12. Septiembre 2001. Dada la familia de planos 2mx  (m  1) y  3(m  1) z  m  4  0
a) Calcula la ecuación del plano de esta familia que pasa por el punto (1, –1, 2).

 x  3z  1  0
 y  5z  2  0

b) Calcula, si existe, la ecuación del plano de esta...
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