Geometria Proyectiva

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Apuntes
de
Geometr´ Proyectiva
ıa
C´nicas y Cu´dricas
o
a
Angel Montesdeoca
La Laguna, 2004

CONTENIDO

TEMA I. Espacios proyectivos

1

1.1. El espacio proyectivo. Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . .o
1.2. Subespacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intersecci´n de subespacios proyectivos . . . . . . . . . . .
o
Subespacio proyectivo engendrado por A ⊂ P (E ) . . . . .
Recta proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hiperplanos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3. Coordenadas homog´neas. Referencias proyectivas . . . . . . .
e
Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referencias proyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretaci´n geom´trica de las coordenadas homog´neas
o
e
e
1.4. Ecuaciones de los subespacios proyectivos . . . . . . . . . . . .
Ecuaci´n param´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .o
e
Ecuaciones impl´
ıcitas o cartesianas . . . . . . . . . . . . .
Intersecci´n de un hiperplano con una recta . . . . . . . .
o
Intersecci´n de un hiperplano con un plano . . . . . . . . .
o
1.5. Proyectividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definici´n de proyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Imagen de una proyectividad . . . . . . . . . . . . . .. . .
Existencia de homograf´
ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupo lineal proyectivo. Geometr´ proyectiva . . . . . . .
ıa
Ecuaciones de una proyectividad . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dualidad en espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . .
Dualidad en espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . ..
Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5
6
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20
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TEMA II. Plano proyectivo y recta proyectiva

25

2.1. Plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algunos teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Raz´n doble . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
o
Otra forma de introducir la raz´n doble . . . . . . . . . . .
o
Distintos valores de la raz´n doble . . . . . . . . . . . . . .
o
i
Geometr´ Proyectiva. Angel Montesdeoca.
ıa

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26
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37
38
2004

2.3. Proyectividades entre espacios proyectivos de dimensi´n 1 . . .
o
Determinaci´n de una proyectividad . . . . . . . . . . . . .
o
Elementosdobles. Clasificaci´n de proyectividades . . . . .
o
Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ecuaci´n can´nica de una proyectividad . . . . . . . . . .
o
o
2.4. Proyectividades entre rectas contenidas en un plano proyectivo
Construcci´n de proyectividades entre rectas y haces de reco
tas del plano proyectivo real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.Cuaternas arm´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.6. Conservaci´n de la raz´n doble por secciones . . . . . . . . . .
o
o

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40
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52

TEMA III. Proyectividades entre espacios proyectivos reales
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bidimensionales
3.1. Colineaciones. Definici´n y ecuaciones . . . . . . . . . .
o
3.2. Elementos dobles de una homograf´ Clasificaci´n . . .
ıa.
oPropiedades del polinomio caracter´
ıstico . . . . . .
Clasificaci´n de las homograf´
o
ıas. Ecuaci´n reducida
o
3.3. Homograf´ especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıas
Afinidades o transformaciones afines . . . . . . . . .
Semejanza. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
Igualdad o movimiento . . . . . . . . . . . . . . . .
Homotecia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....