Geometria y trigonometria
Páginas: 41 (10181 palabras)
Publicado: 4 de febrero de 2011
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Geometría, trigonometría y series
Unidad VII
Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4
En esta unidad usted aprenderá a: • Conocer y utilizar la semejanza de los triángulos. • Utilizar algunos elementos de la trigonometría. • Aplicar el teorema de Pitágoras. • Utilizar las funciones trigonométricas. Le servirá para: • Medir y calcular distancias grandes o poco accesibles. •Obtener las dimensiones de algunos objetos, difíciles de medir físicamente. • Plantear algunas soluciones a problemas relacionados con el uso de series de números.
Triángulos semejantes Teorema de Pitágoras Funciones trigonométricas Series numéricas
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 1
Triángulos semejantes
mbrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero lefalta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. ¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?
A
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura en el muro. Pero este procedimiento no es muypreciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla. 294
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES
Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra deAmbrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:
AB = Recta que forma el muro. BC = Recta que forma la sombra del muro a las 11 a.m. AC = Rectaimaginaria que se produce cuando el Sol proyecta su sombra sobre el piso. 295
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra. DE = La altura de Ambrosio (1.75 m). EF = Longitud de la sombra de Ambrosio a las 11 a.m. (3.0 m). DF = Línea imaginaria que produce la proyección de la sombra de Ambrosio. Observe que los triángulos ABC y DEF son semejantes porquesus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del longitud de su sombra ( EF ). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo a (se lee alfa).
BC DE
muro y su sombra ( AB ) es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la
La sombra del muro Utilizando el álgebra se puede decir que:
AB = r (una cantidad r) BC DE =r (la misma cantidad r) EF
La sombra de Ambrosio Por lo anterior se tiene que:
AB BC DE EF
296
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES
También se podría haber dicho que: La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE.
AB
:
DE
;
AB DE
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m.
BC
:EF
;
BC EF
Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y tiene una incógnita.
AB DE = BC EF
Incógnita
AB = altura del muro (no la conoce). BC = longitud de la sombra del muro (sí la conoce). DE = altura de Ambrosio (sí la conoce). EF = longitud de la sombra de Ambrosio (sí la conoce). Con lo anterior puede plantear una ecuación como la siguiente:
x DE = BCEF
(x = altura desconocida del muro) Sustituyendo se tiene:
Despeja la incógnita “x”, por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por BC:
x DE BC = BC BC EF
x=
1.75 m 16 m 3.0 m
x = 9.33 m
x = DE BC
EF
Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área.
9.33 m x 25 m = 233.25 m2...
Geometría, trigonometría y series
Unidad VII
Tema 1 Tema 2 Tema 3 Tema 4
En esta unidad usted aprenderá a: • Conocer y utilizar la semejanza de los triángulos. • Utilizar algunos elementos de la trigonometría. • Aplicar el teorema de Pitágoras. • Utilizar las funciones trigonométricas. Le servirá para: • Medir y calcular distancias grandes o poco accesibles. •Obtener las dimensiones de algunos objetos, difíciles de medir físicamente. • Plantear algunas soluciones a problemas relacionados con el uso de series de números.
Triángulos semejantes Teorema de Pitágoras Funciones trigonométricas Series numéricas
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
Tema 1
Triángulos semejantes
mbrosio va a pintar un muro del que conoce la dimensión de su base pero lefalta la altura porque no cuenta, por el momento, con una escalera para medirla. ¿Cómo podría Ambrosio conocer la altura del muro y con ello poder calcular el área que va a pintar?
A
Ambrosio puede más o menos calcular la altura del muro parándose junto a él y marcar su altura con un gis, luego alejarse y calcular cuántas veces cabe su altura en el muro. Pero este procedimiento no es muypreciso, pues está suponiendo cuántas veces cabe su altura en el muro para luego multiplicarla. 294
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES
Una forma de calcular la altura del muro, con mucha mayor precisión, es utilizando la geometría, por medio de las razones semejantes. Observe usted lo que hace Ambrosio:
La sombra que da el Sol cuando pasa por el muro a las 11 a.m. mide 16 m. La sombra deAmbrosio, también a las 11 a.m., es de 3.0 m y él sabe que mide 1.75 m. Con esta información él podrá calcular la altura del muro, ya que si usted observa los dos dibujos, en cada uno de ellos hay un triángulo rectángulo semejante. Lo anterior se aprecia mejor si se dibuja de la siguiente manera:
AB = Recta que forma el muro. BC = Recta que forma la sombra del muro a las 11 a.m. AC = Rectaimaginaria que se produce cuando el Sol proyecta su sombra sobre el piso. 295
NÚMEROS Y CUENTAS PARA LA VIDA
De la misma manera se puede analizar a Ambrosio y su sombra. DE = La altura de Ambrosio (1.75 m). EF = Longitud de la sombra de Ambrosio a las 11 a.m. (3.0 m). DF = Línea imaginaria que produce la proyección de la sombra de Ambrosio. Observe que los triángulos ABC y DEF son semejantes porquesus tres lados son proporcionales. Esto quiere decir que la relación que existe entre el alto del longitud de su sombra ( EF ). Esto es porque los dos triángulos (ABC y DEF) tienen el mismo ángulo a (se lee alfa).
BC DE
muro y su sombra ( AB ) es la misma que existe entre la altura de Ambrosio y la
La sombra del muro Utilizando el álgebra se puede decir que:
AB = r (una cantidad r) BC DE =r (la misma cantidad r) EF
La sombra de Ambrosio Por lo anterior se tiene que:
AB BC DE EF
296
GEOMETRÍA, TRIGONOMETRÍA Y SERIES
También se podría haber dicho que: La altura del muro AB es proporcional a la altura de Ambrosio DE.
AB
:
DE
;
AB DE
Y que la sombra del muro BC es proporcional a la sombra de Ambrosio EF, desde luego, ambas medidas a las 11 a.m.
BC
:EF
;
BC EF
Ahora Ambrosio tiene una ecuación en la que conoce tres variables y tiene una incógnita.
AB DE = BC EF
Incógnita
AB = altura del muro (no la conoce). BC = longitud de la sombra del muro (sí la conoce). DE = altura de Ambrosio (sí la conoce). EF = longitud de la sombra de Ambrosio (sí la conoce). Con lo anterior puede plantear una ecuación como la siguiente:
x DE = BCEF
(x = altura desconocida del muro) Sustituyendo se tiene:
Despeja la incógnita “x”, por lo que multiplica a los dos miembros de la ecuación por BC:
x DE BC = BC BC EF
x=
1.75 m 16 m 3.0 m
x = 9.33 m
x = DE BC
EF
Con esto Ambrosio sabe que el muro tiene una altura de 9.33 m, lo que multiplicado por los 25 m que tiene de base obtendrá su área.
9.33 m x 25 m = 233.25 m2...
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