geometria

recta tangente:
SEMANA 10
CURSO: CALCULO I

RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA

Uno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo: data del grancientífico griego Arquímedes, se llama problema de las tangentes.



Se da una curva y sobre ella dos puntos P fijo y Q un punto móvil de la curva y próximo a P. La recta que pasa por P y Q sedenomina recta secante.

Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, entonces la posición limite (si existe) de la secante se denomina recta tangente a la curva en P.

ECUACIÓN DE LA RECTATANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA
Sea una función derivable en x = a, considerando la interpretación geométrica de se dan las siguientes definiciones:

Recta Tangente:Recta Normal:



Ejemplo
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola , en el puntoP(1,1)
Solución:
En este caso, tenemos y , de modo que la pendiente es
f^' (x)=2x
m=f^' (1)=2(1)=2

Con la forma punto – pendiente de la ecuación de una recta, encontramos que una ecuación dela recta tangente en (1,1) es

ó

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola , en el punto (3,1)
Solución
Sea , entonces la pendiente de la recta tangente en (3,1)es
f^' (x)=-3/x^2
m=f^' (3)=-3/3^2 =-1/3

Por lo tanto la ecuación de la tangente en el punto (3,1) es
la cual se simplifica hasta .

La ecuación de la recta normal ahipérbola del ejemplo anterior, , es perpendicular a la recta tangente en ese punto.
Solución

Como la pendiente de la recta tangente en (3,1) es , por la propiedad de rectas perpendiculares ,tenemos que la pendiente de la recta normal es . Luego la ecuación normal será



EJERCICIOS PROPUESTOS

En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la...