geometria

Índice General
Capítulo 1. Conceptos y teoremas básicos
1. Angulos entre paralelas.
2. Angulos en circunferencias
3. El Teorema de Tales
4. Triángulos semejantes
5. Cuadriláteros cíclicos.
6. El Teorema de Pitágoras
7. Potencia de un punto
8. Area de triángulos y cuadriláteros

1
1
3
9
11
18
24
28
37

Capítulo 2. Puntos notables en el triángulo
1. Las medianas y elgravicentro
2. Las bisectrices y el incentro
3. Las alturas y el ortocentro
4. Las mediatrices y el circuncentro
5. Circunferencias exinscritas
6. Simedianas

43
43
47
53
56
59
63

Capítulo 3. Teoremas selectos
1. Teorema de Ptolomeo
2. Teorema de Carnot
3. Teorema de Ceva y de Menelao
4. Línea de Euler
5. Circunferencia de los nueve puntos
6. Línea de Simson
7. Teorema de Desargues yTeorema de Pappus

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Capítulo 4. Algunas estrategias en Geometría
1. Prolongar segmentos
2. Trazar perpendiculares
3. Trazar paralelas
4. Trazar tangentes y cuerdas comunes
5. Construir un ángulo
6. Reflejar puntos
7. Construir triángulos equiláteros
8. Ir hacia atrás
9. Usando a Ceva y Menelao

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i

iiÍNDICE GENERAL

10. El punto falso (falsa posición)
11. Problemas misceláneos
Bibliografía

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CAPíTULO 1

Conceptos y teoremas básicos
1. Angulos entre paralelas.
Consideremos líneas que se hallan en un mismo plano y que no se intersectan
por más que se prolonguen. A este tipo de líneas las llamaremos líneas
paralelas. Si una línea corta a un par de paralelas (l y m) entoncesforma
ángulos con éstas, los cuales mantienen la siguiente relación:
]1 = ]2
]1 = ]3
]1 = ]4
]2 = ]4

y
y
y
y

se
se
se
se

llaman
llaman
llaman
llaman

ángulos
ángulos
ángulos
ángulos

opuestos por el vértice,
alternos internos,
correspondientes,
alternos externos,
4 5

l

3

1

m

2

además, también tenemos que ]4 + ]5 = 180◦ y se dice que ]4 y ]5
sonsuplementarios. Aprovechando todo esto podemos probar el siguiente
teorema:
Teorema 1. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180◦ .
A

α

l

θ β

β

α
B

C

Demostración. Sea l una línea paralela a BC, la demostración es
evidente al observar la figura anterior, ya que ]α + ]θ + ]β = 180◦ .
1

2

1. CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS

1.1. Ejercicios.
Ejercicio 1.Encuentra cuánto vale el ángulo exterior θ en la siguiente
figura si son conocidos los ángulos α y β:
A

α

β

θ

B

C

Ejercicio 2. Encuentra cuánto vale la suma de los ángulos internos de
un polígono convexo1 de n vértices.
Ejercicio 3. Encuentra cuánto vale el ángulo x en la siguiente figura.

140°

x
140°
140°

Ejercicio 4. Calcula la suma de los ángulos internos en losvértices A,
B, C, D y E.

1

Una figura se dice que es convexa, si para cualesquiera dos puntos en ella, el segmento
que los une está totalmente contenido en la figura.

2. ANGULOS EN CIRCUNFERENCIAS

3

A

E

B

D
C

2. Angulos en circunferencias
Existen distintos tipos de ángulos en las circunferencias, los cuales podemos
calcular en función de los arcos que intersectan. Lamanera en que se calculan depende de si el vértice del ángulo se encuentra dentro, sobre, ó fuera
de la circunferencia. Veamos cada uno de ellos y la manera de calcularlos:
Definición 1. Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro
de un círculo y su valor es igual al arco que intersecta medido en radianes,
_

es decir α = AB 2 .
A

O

α
B

Definición 2. Un ángulo inscritoes el que tiene su vértice sobre la
circunferencia y su valor es igual a la mitad del arco que intersecta, es decir
_

β=

2

AB
2 .

_

Con XY denotamos al arco de la circunferencia entre los puntos X y Y .

4

1. CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS
A

C

β
B

Definición 3. Un ángulo semi-inscrito es el que tiene su vértice sobre
la circunferencia y está formado por una...