Geometria

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O R Í G E N E S D E LA G E O M E T R Í A N O EUCLIDIANA: SACCHERI, LAMBERT Y TAURINUS
ALBERTO DOU Académico Numerario

O. Introducción
0.1. Durante el siglo XIX, a partir de los años 1825 y 1826, los matemáticos János Bolyai y Nikolai Lobachevski dan a conocer públicamente los primeros descubrimientos de la primera geometría no euclídea. Ambos publican independientemente y casisimultáneamente sendos tratados, Lobachevski en 1829 y Bolyai en 1832, que hacen patente que cada uno ha descubierto la misma primera geometría no euclídea. Esta geometría, que Lobachevski llama imaginaria (1840, n. 22) y Bolyai llama S (1832, §15) en oposición a la geometría euclídea que llama Z, es la geometría que se obtiene de la de Euclides, o sea de los Elementos de Euclides, cuando, en vez de asumir elquinto postulado o postulado de Euclides, se asume precisamente su negación. La emergencia de esta geometría en el siglo XIX, después de haberse creído unánimemente por todos los geómetras durante más de dos milenios que la única geometría posible era la de los Elementos, supone la contribución importante de muchos precursores. El primero, que dio con el método que lógicamente tenía que conducir yde hecho condujo al descubrimiento de la nueva Geometría, fue Saccheri (1667-1733). Siguieron con el mismo método Lambert (1728-1777), Gauss (1777-1855), Wachter (1792-1817), Schweikart (1780-1859), Taurinus (1794-1874), J. Bolyai (1802-1860) y Lobachevski (1793-1856). Hubo otros que también se ocuparon de la teoría de las paralelas como Thibaut y Legendre, pero recayendo en los métodos antiguos depseudodemostraciones y sus resultados terminaron en línea muerta.^
^Véanse los comentarios de Stackel, 1895, pp. 211sgs. reproducidos en parte en Dou 1970; y los de Kárteszi, 1987, pp. 19sgs.

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En este articulo vamos a estudiar y exponer las contribuciones más importantes de los tres precursores Saccheri, Lambert y Taurinus. Saccheri creó un método válido y publicó en 1733 el primertratado de geometría, que contiene muchos y difíciles teoremas de las dos primeras geometrías no euclídeas, la del ángulo obtuso y la del ángulo agudo (que es la misma que descubrieron Lobachevski y Bolyai un siglo más tarde). Saccheri demostró rigurosamente sus teoremas, pero nunca creyó que su nueva geometría estuviera exenta de contradicción. Lambert aportó importantes contribuciones a lasgeometrías de Saccheri, pero igual que éste parece que nunca creyó que estuvieran exentas de contradicción, pero quizás fue el primero que sospechó seriamente que la geometría del ángulo agudo podía ser verdadera. El caso de Taurinus es todavía más sorprendente como veremos. Consiguientemente, dividiremos este trabajo en tres partes, dedicadas respectivamente a Saccheri, Lambert y Taurinus. Nos alargaremosalgo más en la exposición de Saccheri, sobre todo por haber sido el iniciador del método que condujo a la creación de las geometrías no euclídeas. 0.2. Antes de entrar en la exposición histórica, daremos en términos modernos un marco de referencia que permita hacer más precisa y más fácilmente comprensible una exposición de las contribuciones de los tres geómetras. Para su estudio es suficienteque nos restrinjamos a la geometría plana. Entendemos por plano un agregado de entidades primitivas que llamaremos puntos y rectas, entre los que postularemos la existencia de unas relaciones que definiremos mediante axiomas. Naturalmente, dos planos y sus correspondientes geometrías son distintos sólo y cuando los dos sistemas de axiomas que los definen no sean equivalentes. En los Elementos deEuclides se supone que una figura, basta un triángulo, se puede mover en su plano isométricamente, es decir de modo que durante su movimiento las longitudes de los lados y los valores de los ángulos se conservan; ello impHca la existencia de unos axiomas de congruencia. A las geometrías, en las que las figuras gocen de esta propiedad, las llamaremos elementales, tanto por su referencia a los...
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