Geometria

Geometr´ Euclideana bidimensional y su ıa grupo de transformaciones

November 6, 2012

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Cap´ ıtulo 1 Geometr´ del c´ ıa ırculo
Denotaremos por E2 al plano Euclideano, L a una l´ ınea y C a una circunferencia con 2 centro en un punto O ∈ E y radio R > 0. Definici´n 1 Al conjunto de puntos que est´n sobre una misma circunferencia se les o a llama conc´ ıclicos. A un cuadril´tero cuyosv´rtices son conc´clicos se le llama cuadril´tero a e ı a c´ ıclico. El siguiente resultado nos da una condici´n necesaria y suficiente para determinar o cu´ndo un cuadril´tero es c´ a a ıclico (ver 1.3, 1). Teorema 1 Un cuadril´tero es c´clico si y s´lo si cualesquiera dos ´ngulos opuestos son a ı o a suplementarios. Demostraci´n. Sea o ABCD un cuadril´tero. Si a 1 ∠DAB = BD 2 ABCD es c´ ıclico,entonces,

1 y ∠BCD = DB. 2

Como BD + DB = 360◦ , se sigue que ∠DAB + ∠BCD = 180◦ . Rec´ ıprocamente, supongamos que ∠DAB + ∠BCD = 180◦ y tracemos la circunferencia que pasa por los v´rtices D, A, B y supongamos que no pasa por el v´rtice C. e e Prolonguemos BC hasta que intersecte a la circunferencia en C . Como el cuadril´tero a ABC D es c´ ıclico, se sigue que ∠DAB + ∠BC D = 180◦ . Estoimplica que ∠BC D = ∠BCD, y entonces DC es paralelo a DC , lo cual es una contradicci´n. Por lo tanto, o C = C y ABCD es c´ ıclico.

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CAP´ ITULO 1. GEOMETR´ DEL C´ IA IRCULO

1.1

Potencia de un punto

Sea P ∈ E2 un punto en el ‘exterior’ de C. Tracemos dos l´ ıneas desde P de tal manera que intersecten a C en cuatro puntos A, B, A y B , respectivamente.

Potencia de un punto Como elcuadril´tero determinado por los puntos A, B, B y A es c´ a ıclico, se sigue que sus ´ngulos opuestos son suplementarios. Esto implica que ∠P AA = ∠BB P y por lo a tanto los tri´ngulos P AA y P B B son semejantes. Luego, a PA PA = . PB PB Por lo tanto, PA · PB = PA · PB . Como tomamos dos l´ ıneas arbitrarias trazadas desde P , esta relaci´n se cumple para o cualesquiera dos puntos sobre Ccolineales con P . Si una de las dos l´ ıneas que parten de P es tangente a C en el punto T , entonces, P A · P B = P T 2, para cualesquiera dos puntos A y B en C que sean colineales con P .

Potencia de un punto

1.1. POTENCIA DE UN PUNTO

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Probaremos esta afirmaci´n en el caso en que AB es un di´metro de C. El caso general o a se sigue de aqu´ ı.

Potencia de un punto Tracemos el radio OT. Como el angulo ∠OT P es recto, se sigue que ´ ∠AT P = 90◦ − ∠OT A. Por ser el segmento AB un di´metro, el ´ngulo ∠BT A es recto y entonces a a ∠BT O = 90◦ − ∠OT A. Esto implica que los ´ngulos ∠AT P y ∠BT O son iguales. Adem´s, el tri´ngulo BT O a a a es is´sceles, con lo que ∠AT P = ∠OBT . Luego, los tri´ngulos P AT y P T B son o a semejantes. Por lo tanto, P A · P B = P T 2. El ultimo caso porconsiderar es cuando P est´ en el ‘interior’ de C. En este caso, ´ a P AA ∼ y por lo tanto PA · PB = PA · PB . P B B,

Potencia de un punto

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CAP´ ITULO 1. GEOMETR´ DEL C´ IA IRCULO De acuerdo con el an´lisis anterior podemos enunciar la siguiente: a

Definici´n 2 La potencia de un punto P ∈ E2 \ C con respecto de C es el producto de los o segmentos determinados por P con cualesquierados puntos A y B en C que son colineales con P . Esto es, P A · P B. Si T es un punto de C tal que la l´nea P T es tangente a C, entonces ı P A · P B = P T 2. Observaci´n 1 Si P ∈ C, entonces la potencia de P con respecto de C es 0. o La demostraci´n del siguiente teorema es inmediata: o Teorema 2 La potencia de un punto P ∈ E2 con respecto de C es un valor constante.

1.2

Circunferenciascoaxiales

El eje radical de dos circunferencias se define como el lugar geom´trico de todos los puntos e 2 P ∈ E cuyas potencias con respecto de las dos circunferencias es igual. El siguiente resultado ser´ de utilidad; su demostraci´n es sencilla y se deja como a o ejercicio para el lector: Lema 1 Sean C1 , C2 y C3 tres circunferencias en E2 cuyos centros no est´n alineados. a Entonces, los tres...