Geometría

TEORÍA DE LAS TRANSFORMACIONES

U1

(S): Universo de trabajo: Plano Euclideano (plano de los puntos ordinarios). Definición: Una transformación es un mapeo biunívoco del conjunto A sobre el conjunto B, en donde a cada elemento del conjunto A le corresponde una imagen distinta en el conjunto B. (relación uno es a uno)

Transformación T

Transformación T

A
A B C

B A1 B1 C1

A

BTRASLACIÓN
TRASLACIÓN T(AB):

U1

Sea AB un segmento rectilíneo dirigido fijo del plano, La transformación de traslación lleva cada punto P del plano (S) a una posición P’ del mismo tal que PP’ sea igual y paralelo al vector AB de traslación.
P A B P’

T
R’

R

P Q R

P1 Q1 R1

Q

Q’

T(AB)

TRASLACIÓN

U1

P' EJEMPLOS P P
P'

P1

P' P Q' P M

P

R' Q R' RR'

P

P1
P P1

P R1 Q P1 R1 R1

P

Q

MR Q' M Q' Q
Q R

R Q1

R

Q

Q

R Q1 R Q1

Q P1 Q Q1 P1

R1

R

R

T(QM)
M: punto medio de RP

T(QR)

T(PQ)
Q1 Q1

R1 R1

El vector puede definirse como T(AB/2 ) o T(1,5 AB) o T(2BC), etc.

TRASLACIÓN

U1

Fuente: http://www.flickr.com/photos/20269008@N00

ROTACIÓN

U1

ROTACIÓN R(O, a): Sea O unpunto fijo del plano y a ángulo con sentido. La transformación de Rotación lleva cada punto P del plano a una posición P’ del mismo, tal que OP = OP’ y ángulo POP’= a O es centro de rotación y a es ángulo de rotación.

Q1

P1
P

Sentido de rotación:
Q1 P1 O Q R1 R

P

R1 O

Q

R

R(O, -90º)

R(O, -90º)

OP = OP1 y ángulo POP1= a

ROTACIÓN

U1

ROTACIÓN R(O, a): Sea O unpunto fijo del plano y a ángulo con sentido. La transformación de Rotación lleva cada punto P del plano a una posición P’ del mismo, tal que OP = OP’ y ángulo POP’= a O es centro de rotación y a es ángulo de rotación.

P

p

Q1

P1

Q1 P

P1

Q1
O

P1 R

Q

O R1

Q

R R1 O

R1

Q

R

R(O, -90º)

R(O, -90º)

R(O, -90º)

ROTACIÓN

U1http://www.flickr.com/photos/20269008@N00

ROTACIÓN R(0, a)

U1

PRO2 Estudio de diseño: Luz Sepúlveda y Nicolás Hernández

REFLEXIÓN CON RESPECTO A UN EJE

U1

REFLEXIÓN R(l) : Sea l una recta fija del plano, la transformación de reflexión con respecto a un eje lleva cada punto P del plano (S) a una posición P’ del mismo, tal que l sea mediatriz de PP’. l es eje de reflexión P P’ LEY DEL ESPEJO

L

lP P1

P

P

l
R1 Q R Q1 P1

Q Q1

R R1

l

Q

R

R1

Q1

P1

R(l)

R(l)

R(l)

REFLEXIÓN CON RESPECTO A UN PUNTO
REFLEXIÓN R(O) : Sea O un punto fijo del plano, la transformación de reflexión con respecto a un punto lleva cada punto P del plano (S) a una posición P’ del mismo, tal que O sea punto medio de PP’. O es centro de reflexión P P’ SEMI - VUELTA

U1O
R1 P O Q1

P

Q
P1 Q R

O

R R1

Q1

P Q1 O Q C

R(O)
R1 P O

P1

Q1

C1

P1

P1

Q

R

HOMOTECIA

U1

HOMOTECIA H (0,k): Sea O un punto fijo del plano y k un número real dado distinto de cero. La transformación de homotecia lleva cada punto P del plano (S) a una posición P’ del mismo tal que OP x IkI = OP’ y OPP’ alineados. K es la razón de homotecia
k(-): O entre el segmento PP’ según la razón de homotecia. Si k es mayor que 1 la figura aumenta de tamaño.
R1 Q1

k(+) : O fuera del segmento P P1
P1 P

O

P

O

P1

Q R

Q

R

Q1

H (O, - 2)

R1

H (O, 2)

HOMOTECIA

U1

P

Centro de homotecia contenido en un vértice
P1

O Q R R1

Q1
P

H (O, - 2)
R O R1

H (O, 2)
Q1 Q

P1

Centro de homoteciacontenido en un lado
R1 P O R Q P1
Q1 R1 Q

Q1
P1

H (O, - 2)

P O R

H (O, 2)

HOMOTECIA

U1

ROTACIÓN REFLEXION

U1

RESUMEN DE LAS TRANSFORMACIONES
A A1

U1

 TRASLACIÓN T(DO)
A1 A

D

D1 O

B

B1

C B

C1

 ROTACIÓN R(C, -45º)
D

D1

B1

C C1

 REFLEXIÓN R(BC)  REFLEXIÓN R(C)  HOMOTECIA H(C, 5/3)
A B

A

B B1

A1

D

C C1

D1...