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Tema 7.  Funciones de varias variables
1. 2. 3. 4. 5. 6. Algunos conceptos topológicos  g p p g Funciones de varias variables. Dominio, rango. Representaciones geométricas. Curvas de nivel p g Continuidad. Propiedades Derivadas parciales. Gradiente Derivadas parciales. Gradiente Derivadas de orden superior. Hessiana

Nociones de topología N i d t l í
• Se llama bola abierta de centro aœRny radio r>0 al conjunto de  puntos de Rn cuya distancia al punto a es menor que r p ntos de Rn c a distancia al p nto a es menor q e r

Br (a ) = x ∈ Rn / x − a < r

{

}

• Ejemplos: • E Rl b l En R las bolas abiertas son los intervalos abiertos bi l i l bi • En R2 las bolas son los discos de radio r

Dado el conjunto SŒ Rn 1. Se dice que x œ S es un punto interior de S si existe una bolaabierta de centro x enteramente contenida en S $Br(x) Õ S 2. Un punto z œ Rn es un punto frontera de S si en toda bola abierta centrada en z hay puntos de S y puntos que no son de S

∀Br ( z ), Br ( z ) ∩ S ≠ φ , Br ( z ) ∩ ( R n − S ) ≠ φ
3. Un punto y œ Rn se llama exterior a S si hay una bola abierta con centro y, enteramente fuera de S

∃Br ( y ), Br ( y ) ⊂ ( R n − S )



a S

∏b ∏ c

a punto exterior c punto interior b, d puntos frontera

∏ d

• Un conjunto S es abierto si todos sus puntos  son interiores • Un conjunto es cerrado si incluye a su frontera • H Hay conjuntos que no son abiertos ni cerrados j bi i d

• Un conjunto S es acotado si se puede incluir en  una bola centrada en el origen una bola centrada en el origen

∃k > 0 / x ≤ k ∀x ∈ S
•Un subconjunto de Rn es compacto si es cerrado  j p y acotado.

Ejemplos Ej l
S1 = [1, 3)
S2 = (x,y) ∈ R / x + y ≤ 1
2

{
{

}

S3 = (x,y) ∈ R 2 / x + y ≤ 1 ∪ (1,1)

}

S 4 = (x,y) ∈ R 2 / y ≥ x 2

{
{

}
}

S5 = (x,y) ∈ R 2 / y ≥ x 2 ; x + y ≤ 1; x ≥ 0 ; y ≥ 0

Funciones de varias variables F i d i i bl
• Una función real de n variables reales es una regla f que a cada vector  (x x que a cada vector (x1, x2,...,xn) de números reales de x ) de números reales de  un subconjunto D de Rn le hace corresponder un  número real. • Notación: f : D ⊆ R n → R • Dominio. Es el conjunto de puntos D, en el que tiene Dominio. Es el conjunto de puntos D, en el que tiene  sentido la regla f. g g j • Rango o Imagen de f es el conjunto de números reales que resulta de aplicar f a los puntos del  dominio.

Ejemplos Ej l
f ( x, y ) = x + y f ( x , y ) = xy x1 + x 2 + ... + x n f ( x1 , x 2 ,..., x n ) = n

El dominio de estas funciones es todo Rn

Ejemplos
x + 3y f ( x, y ) = 2 x −1 x+ y f ( x, y , z ) = z α 1−α f ( x, y ) = Ax y , α > 0

Gráfica de z = f(x, y) es el conjunto de puntos (x,y,z) donde d d z = f( ) f(x,y)
z

z=f(x, y) f( )

x

y

(x, y)

z = f(x,y) =x + y
2
Dominio D = R2

2
+ Imagen f(R2)= R = {z ∈ R / z ≥ 0}

Curvas de nivel de la función z = f(x,y)
El conjunto de los puntos del plano que verifican la ecuación f(x,y) = C se llama la curva de nivel de altura C. Para calcular las curvas de nivel de la función z = f(x,y) resolvemos f(x,y) = C. f(x y) f(x y) C Interpretación geométrica geométrica.

z = f(x,y) = x − y
2

2

Mapade curvas de nivel:

Curvas de nivel de z = x + y2

Curvas de nivel de z = x - y2

Continuidad C ti id d

La función f(x) x = (x 1 , x 2 ,...x n ) es continua f(x), x en el punto a = (a1 ,a 2 ,...a n ) ∈ D si : 1. Existe f ( a ) 2. Existe lim f ( x )
x→a

3. Lim f ( x ) = f ( a )
x→ a

Continuidad en dos variables
• La función f(x,y) es continua en el punto (x0,y0) si y sólosi: La función f(x,y) es continua en el punto (x ) si y sólo si: a.                      está definido a está definido

f ( x0 , y0 )
b. Existe  b Existe c. Coinciden c Coinciden
( x , y ) → ( x0 , y0 )

( x , y ) → ( x0 , y 0 )

lim

f ( x, y )
f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )

lim

El problema de la continuidad reside en saber calcular límites. En una variable í sólo hay...
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