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CAPITULO 2: FUNDAMENTOS ´ BASICOS DE LA GEOMETR´ IA

2.1 GENERALIDADES
La palabra geometr´ de deriva de el griego GEO tierra, METRON medida, ıa los egipcios y babilonicos, 4.000 y 3.000 AC, median figuras geometr´ ıcas y median sus propiedades, con esta geoemtr´ construyeron las piramides de egipto y ıa la esfinge. Estos famosos matem´ticos conocian la geometria como hoy en dia se a utiliza eningenier´ Para ver la historia de la geometr´ pueden ver las paginas ıa. ıa, de: Pit´goras: mucho m´s que un teorema - partes 1 a 3 a a http://www.youtube.com/watch?v=JSk0U-fvo98

2.1.1 Definiciones dadas por Euclides.
Al definir los terminos matem´ticos partimos de terminos indefinidos, y se a supone que la palabra es tan elemental que se conoce su significado. 1

2 Los terminos indefinidos son,punto, recta, plano etc, seg´n Euclides un punu to es lo que tiene posici´n pero no dimensi´n, se denotan con letras mayusculas o o o en algunos textos con letras minusculas etc.

Definiciones dadas por Euclides: Las siguientes definiciones son las dadas por Euclides: 1. El punto es aquello que no tiene partes. 2. La linea es longitud sin ancho. 3. Las fronteras de una linea son puntos. 4. Larecta es aquella linea que se halla dispuesta con respecto a todos sus puntos. 5. La superficie es lo que psee unicamente longitud y ancho. 6. El plano es una superficie que se halla igualmente dispuesta con respecto a toda linea que se encuentra en ella. 7. Un ´ngulo es la inclinaci´n mutua de dos lineas que se encuentran y estan a o situadas en un plano.

2.1.2 Axiomas y Postulados de la Geometriade Euclides.
AXIOMAS DE INCIDENCIA Una proposici´n que se acepta como verdadera sin demostraci´nse llama o o postulado. Los axiomas de incidencia que Euclides expone en su libro y que junto con los postulados forman la base para enunciar y demostrar las proposiciones y los teoremas son los siguientes: 1. Una recta contiene por lo menos dos puntos. 2. Por cada dos puntos distintos, existe una ysolo una recta que los contiene. 3. Por cada tres puntos distintos no colineales, existe uno y solo un plano que los contiene, (los puntos son colineales si estan sobre la misma recta). 4. Si un plano contirene dos puntos de una recta, entonces todos los puntos de la recta son puntos del plano. 5. Si dos planos distintos se intersectan, su intersecci´n es una y solo una o recta.

3 6. Por un puntoP que no est´ en una recta dada, se puede hacer pasar e cuando m´s una paralela a la recta dada. a 7. El espacio contiene por lo menos 4 puntos no coplanares (puntos coplanares son los que est´n el el mismo plano). a Teorema 1. Si dos rectas distintas en un plano se intersectan, entonces su intersecci´n es cuando m´s un punto.(Dos rectas se intersectan en un punto, o a ninguno o todos)

Teorema2. Si un punto P se encuentra fuera de una recta plano contiene a la recta y al punto. Demostraci´n. o Sean A,B dos puntos distintos de la recta

uno y solo un

Sea P un punto un punto que no se encuentra en Los puntos A,B y P son no colineales, entonces forman un plano. Existe un unico plano que contiene a y a P.

Teorema 3. Si dos rectas distintas se intersectan existe uno y solo un planoque contiene a ambas rectas. Demostraci´n. o Sean Q el punto intersecci´n de o yM y otro sobre

Como en una recta se tienen dos puntos existe uno sobre M los cuales no son colineales.

Estos puntos estan en un plano por lo cual ell y M estan en el plano.

Axiomas de Orden.
Estos axiomas determinan la posici´n de los puntos situados en una reco ta.(estar entre) 1. Si un punto B se encuentrasituado entre un punto A y un punto C, entonces A,B y C son tres puntos en la misma recta y B se encuentra entre C y A. 2. Dados dos puntos A y C existe siempre al menos un punto B en la recta AC de tal modo que C esta situado entre A y B. 3. De tres puntos cualesquiera de una recta no existe m´s que uno situado a entre los otros dos.

4 4. Dados A,B y C tres puntos que no pertenecen a una...
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