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UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS TALLER DE CONTROL DE CALCULO III_2 1. Haga corresponder la letra asignada a cada función con las curvas de nivel correspondiente(a). f (x; y) = x + 2y (b): f (x; y) = y x2 (c). f (x; y) = x2 y 2 (d). f (x; y) = x2 + y 2 :

2. Halle el dominio de las funciones y dibújelo en el plano. (a) f (x; y) = ln(x y) p (b) f (x; y) =x2 y 3. Detemine si la 8 < :

si f (x; y) =

8 < x + y si x y 6= 0 es continua en (0; 0)? Similarmente determine función f (x; y) = x y : 1 x=y x2 + y 2 si ( x; y) 6= (0; 0) es continua en (0; 0).sen(x2 + y 2 ) 1 si (x; y) = (0; 0) x2 y 2

4. Sea f (x; y) = y 2 x

(a) Halle rf (x; y) (b) Si !(t) = (t + 1; t2 ): Halle f (!(t)): r r ! (c) Si !(t) = (x(t); y(t)) con !(1) = (1; 1), y 0 (1) = (2; 2) halle (d) Si x = x(u; v) = u + v y y = y(u; v): Tomando u = 1; v = 1 y
1 5. Sea f (x; y) = 3 y 3 + 1 x3 + 1 y 2 3 2 1 2 2x 2 @f @u

! d dt f ( (t)) = 12; halle

en t = 1
@y @u (1; 1):(a) Encuentre los puntos críticos de f: (b) Halle la matriz Hessiana @2f (x; y) @x2 @2f (x; y) 6 2 H(x; y) = 6 @x 2 4 @ f (x; y) @x@y 2 3 @2f (x; y) 7 @x@y 7 2 5 @ f (x; y) 2 @y

(c) Evalue H encada punto crítico y diga cuáles son los puntos donde la función tiene máximos, mínimos o puntos sillas. 6. Considere la ecuación x2 z + yz 2 + 2xy 2 Halle @f ; @f : @x @y z 3 = 0: Suponga que z = f (x;y) es función implicita de (x; y):

7. Halle los valores extremos de la función f (x; y) = x + y sujeto a la condición x2 + y 2 = 4: (Resuelva el problema usando multiplicadores de Lagrange y usandoel álgebra lineal).

8. Considere la parametrización de una super…cie S dada por !( ; ') = (R cos sen'; R cos sen'; R cos ') r donde 0 2 ;0 ' :

(a) Muestre que ! es una parametrización de laesfera con ecuación cartesiana: x2 + y 2 + z 2 = 1: r !( ; '), r ( ; ') y muestre que !( ; ') y r ( ; ') son perpendiculares y k!( ; ')k = Rsen' ! ! (b) Halle r r r ' ' !( ; ')k = R: Concluya así que...
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