goemetría no conmutativa.

¿Que es esto de la geometría no conmutativa? La respuesta varía un poco dependiendo a quien preguntes, un matemático o un físico. Un matemático dirá algo así cómo que es algo relacionado con la geometría algebraica y enseguida te atacará con un montón de álgebra abstracta. Un físico empezará por mencionar la mecánica cuántica y te dirá algo del estilo: "El principio de incertidumbre deHeisemberg indica que los operadores posición y momento no conmutan, i.e. [x,p]= ih, esto puede verse como una incapacidad para resolver un área en el espacio de fases del orden de la longitud de planck. Bien, pues la idea de que el campo gravitatorio pueda estar cuantizado podría implicar que algo así deba aplicarse para los operadores de posición, es decir [x,y]=ih, que, análogamente a lo anterior,significa que no podemos resolver un area, esta vez enel espacio 'real' menor que la longitud de Planck".

Bien, esto para empezar, cosas así ya se le ocurrieron a Heisenberg tiempo ha, luego hay que ver como implementar esa idea. Y ahí toman contacto las ideas de físicos y matemáticos.

¿Como podemos caracterizar los puntos de una variedad? (una variedad es la descripción matemática delespacio-tiempo de la física) Bueno, cualquier geómetra algebraico dirá "por sus funciones las conoceréis". Vamos, que ellos se dedican a estudiar las características del espacio-tiempo mediante las funciones definidas en él. ¿Que características? Bien, suelen empezar por una cosa llamada cohomologia que permite estudiar característica globales de las variedades y ver cuando dos variedades sontopologicamente equivalentes (pueden deformarse unas en otras de manera suave, es decir, sin romperse, bueno, al menos esto es para variedades "normales", no sé yo sí para variedades algebraicas abstractas la cosa es exactamente así). ¿Le sirve esto de algo a los físicos? Pues en principio la verdad es que no mucho. Al fin y al cabo estamos interesados en propiedades mas bien locales del espacio-tiempo, asíque la cohomologia no sería una gran prioridad. Sería mas interesante ver lo que dije antes, implementar eso de que las coordenadas no conmuten.

¿Cómo usar las funciones de una variedad para que las coordenadas no conmuten? Bien, podemos caracterizar un punto de una variedad mediante los valores que toman en ese punto todas las funciones que están definidas en la variedad. Y a partir de ahípodemos definir cosas como las distancias entre punto y tal. Bueno, esta es una posibilidad, pero luego ya veré que se siguen caminos menos obvios. Pero de momento sólo he dicho que puedo caracterizar las coordenadas mediante funciones ¿cómo hago que las coordenadas no conmuten? Bien, fácil, haciendo que las funciones no conmuten, es decir, defino un producto no conmutativo de funciones, i.e.Producto ordinario: f(x).g(x) / f.g=g.f [f,g]=f.g - g.f=0 

Producto no conmutativo: f(x)*g(x) / [f,g]= f*g - g* f ≠0 

¿Y como defino yo productos de esos que tengan algo de lógica en física? Hay varias formas, la más sencilla es usando lo que se conoce como deformation quantization:

f*g=f.g + h/2{f,g} + O(h2)

dónde {,} es algún bilineal.

Bien, vamos a dar una forma concreta de eseproducto no conmutativo. Antes puse que la motivación inicial era [x,y]=ih. En realidad debemos ser algo mas flexibles y tener algo del estilo:

[xu,xv]=θuv

El producto de funciones que nos dará esa relación para las variables en la variedad es:

(f*g)(x)= eiθuv∂uy∂vxf(y)g(z)|y=z=x

Bien, vale, de acuerdo, ya tenemos un producto que nos implementa esta idea. ¿que podemos hacer con él?

Puesdebemos hacer física. ¿Y que tenemos en física? Muy sencillo, tenemos que sobre la variedad hay campos, campos que son las funciones de onda que representan las partículas e interacciones fundamentales. Un momento ¿he dicho funciones? ah, pues sí, los campos son funciones, un tanto especiales por las características que implementan pero funciones después de todo, por tanto ya tenemos un modo de...