Graficacion por computadora 2

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2. Transformaciones Geométricas
  INTRODUCCIÓN
Una de las mayores virtudes de los gráficos generados por ordenador es la facilidad con se pueden realizar algunas modificaciones sobre las imágenes. Un gerente puede cambiar las escalas de las gráficas de un informe. Un arquitecto puede ver un edificio desde distintos puntos de vista. Un cartógrafo puede cambiar la escala de un mapa. Un animadorpuede modificar la posición de un personaje. Estos cambios son fáciles de realizar porque la imagen gráfica ha sido codificada en forma de números y almacenada en el interior del ordenador. Los números son susceptibles a las operaciones matemáticas denominadas transformaciones.
Las transformaciones nos permiten alterar de una forma uniforme toda la imagen. Es un hecho que a veces es más fácilmodificar toda la imagen que una porción de ella. Esto supone un complemento muy útil para las técnicas de dibujo manual, donde es normalmente más fácil modificar una pequeña porción del dibujo que crear un dibujo completamente nuevo.
Transformaciones 2D.
* Se puede trasladar un punto P(x,y) en el plano a otra nueva posición sumando cantidades de translación, dx y dy a las coordenadas del punto. P' =P+T . Se puede trasladar una línea trasladando sus extremos y dibujando una línea entre los extremos trasladados.
* Se puede escalar un punto P(x,y) en el plano. Cambiando su tamaño relativo a lo largo de los ejes coordenados, multiplicando las coordenadas del punto por Sx, Sy.. Se produce un escalado no uniforme si Sx ¹ Sy, y un escalado uniforme si Sx = Sy. A los valores de Sx y Sy se lesllama factor de escala.
* Se puede rotar un punto P(x,y) un ángulo q alrededor del origen. Una rotación se define matemáticamente de la forma:
 

Coordenadas homogéneas. 
* Desdichadamente las transformaciones de: translación, rotación y escalado. Se tratan de forma diferente.
* Si todos los puntos se expresan en coordenadas homogéneas, todas las transformaciones se pueden expresar comomultiplicación. En coordenadas homogéneas a cada punto P(x,y) se le añade una tercera coordenada, W de forma que se representa mediante una tripleta, P(x,y,W).
* La tripleta (0,0,0) no esta permitida. Si la coordenada W es distinta de cero, se puede normalizar la tripleta, dividiéndola por W, (x/W,y/W,1), seguirá representando al mismo punto. (x/W) y (y/W) se llaman coordenadas cartesianas delpunto homogéneo.
* Cada punto expresado en coordenadas homogéneas representa una línea en el espacio 3D. Cuando se normaliza el punto, se obtiene un punto de la forma (x,y,1). La normalización de un punto equivale a proyectar sobre el plano W = 1. Los puntos en el infinito no se proyectan sobre este plano.
Representación matricial de transformaciones 2D.
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| El resultado es unformalismo par tratar todas las transformaciones. |
Composición de transformaciones.
El producto de dos matrices es una herramienta que permite conectar dos transformaciones. Aplicar dos transformaciones sucesivas a un punto es equivalente a aplicar a ese punto el producto de las matrices de las respectivas transformaciones. Las transformaciones no tienen por que ser del mismo tipo, se puede mezclartransformaciones. Esto es posible porque todas ellas se representan mediante el mismo formalismo matemático: la multiplicación de matrices. Debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa, hay que tener cuidado con el orden en que se componen las transformaciones. El orden de composición de las transformaciones es el opuesto al orden de aplicación de estas.
Transformaciones rígidas yafines.
Una secuencia arbitraria de matrices de translación y rotación define una transformación rígida. Una secuencia arbitraria de matrices de rotación, translación y escalado define una transformación afín.
La transformación de ventana a punto de visión.
 El modelo del mundo que se quiere representar almacena los objetos expresados usando un sistema de coordenadas reales llamado sistema de...
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