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Matrices de Rotación

Una matriz de rotación, conocida comunmente como Matriz de Rotación de Givens, es una matriz definida de la siguiente forma:

Fila i

Ri , j (() =

La expresion cos(() aparece en la diagonal en las posiciones ( i,i ) y ( j,j ). La expresión sen(() en posición ( j, i ) y - sen(() en posición ( i, j ). Los otros elementos de la diagonal son 1s, como en lamatriz idéntica. Por supuesto que si trabajamos con matrices de orden 2, los unos no aparecen.

La matriz de rotación de orden 2 enmarcada en gris presentada anteriormente se denominaría en esta nueva nomenclatura R1, 2 ( () .

Tal matriz se utilizó para lograr un cero por medio de una transformación ortogonal, en la posición (2,1), segunda fila, primera columna de la matriz a diagonalizar.Como tal matriz era simétrica y por ser Ri , j ( () siempre una matriz ortogonal, la transformación semejante produce una matriz simétrica y por lo tanto otro cero aparece automáticamente en la posición (1,2) al aplicar la transformación ortogonal. Otra razón para utilizar matrices ortogonales en el proceso de diagonalización de matrices simétricas además de las razones de estabilidad mencionadasantes.

O sea que para ser claros en nuestra nomenclatura hacemos notar que el 0 en la posición ( 2,1 ) se logró utilizando la matriz R1, 2 ( () .

Nuestra notación se utiliza de manera apropiada, para concluir que un cero en posición ( i, j ) con i>j se obtiene utilizando la matriz Ri, j( (). Por ello, para lograr un cero en la posición, digamos (3,2), utilizamos la matriz de rotación R2 , 3 (() en la cual intervienen las filas 2 y 3. Por supuesto que si A es simétrica, también aparecerá un cero en posición ( 2, 3 ).

Sea esta la ocasión para recordar que mis primeras lecturas sobre el tema fueron realizadas en el excelente libro de Wilkinson “The Algebraic eigenvalue Problem” y que mi recordado maestro Robert Todd Gregory al ingresar al “lecture course”, a su cargo en launiversidad de Texas, en el cual me orienté en el tema, exclamaba

“Wilkinson is my Champion”
Honor a quien honor merece
Después de esta disgresión retorno al tema.

Aplicaremos este método a nuestra matriz ejemplo

A =

En nuestro proceso de diagonalización obtendremos un 0 en la segunda fila, primera columna, con nuestra transformación ortogonal, para obtener una matriz que gráficamenteluciría como la siguiente:

Para avanzar en el siguiente paso a la forma

y en el siguiente a:

Obteniendo la matriz diagonal deseada.

Obtendremos el primer 0 en la posición ( 2, 1 ) utilizando la matriz de rotación de orden 3, R1, 2( () en donde las expresiones sen(() y cos(() aparecen en las intersecciones de las filas 1 y 2 con las columnas 1 y 2, así:

R1, 2( () =

TLa expresión R1, 2( () A R1, 2( () es:

Observando las matrices como si estuviesen particionadas, incorporando el primer producto

vemos tomando el caso de la diagonalización en R2 que la ecuación

utilizada en el capítulo 6 para matrices cuadradas simétricas del tipo

se aplica en este caso con a = 2, b = -1 y c = 2, concluyéndose que: -2 tan 2 ( + (-1 – 2) tan ( + 2 = 0

o loque es equivalente (muchos números negativos)

2 tan 2 ( + 3 tan ( - 2 = 0

De aquí se concluye, utilizando la ecuación de segundo grado que

tan ( = 1/ 2

Por lo tanto, utilizando un poco de trigonometría y el teorema de Pitágoras, apoyándonos en la siguiente figura de la izquierda, concluimos que:

R1, 2( () = =

Algunos de los pasos en los cálculos se consignana continuación.
T
R1, 2( () A R1, 2( () =

=

=

“Milagrosamente” apareció un 0 en la posición ( 3, 1 ) evitándonos la utilización de la matriz de rotación R1, 3( (). Apareció por supuesto por simetría, el 0 en la posición ( 1, 2 ) (y por simetría el 0 en la posición ( 1, 3 )).

Lograremos ahora el 0 en la posición ( 3, 2 )...
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