graficas

FUNCIONES ELEMENTALES
BÁSICAS

Función Potencial

Una función potencial es una función de la forma:
, fijo)
en donde el exponente n es un número real fijo.
El dominio, las características y la forma de la gráfica de una función potencial dependen
mucho de cuál sea el exponente. A continuación se presentan los casos más relevantes:

Función potencial con exponente entero positivo
Si

y

y

x

x

n par

n impar

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Funciones elementales básicas

Función potencial con exponente entero negativo


Si
y

y

x

x

n par

n impar

Función potencial con exponente fraccionario positivo



p

Raíces de orden par: Si
Raíces de orden impar: Si

y

y q es par 

q
p
q

y q es impar 
y

y

x

x

x



Se supone que lafracción

p

es una fracción irreducible, es decir,

q



.

Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Aquí damos las más usadas.

Nota:
Un error común al trabajar con raíces de cuadradas, y en general con cualquier raíz de
orden par, es pensar que la notación

engloba tanto a la raíz cuadrada positiva como a la

Funciones elementales básicas

3raíz cuadrada negativa del número x, es decir, muchas veces se piensa que

, lo

cual es falso. Escribir

.

es exactamente lo mismo que escribir

, es decir,

Función potencial con exponente fraccionario negativo


Raíces de orden par: Si



Raíces de orden impar: Si
y

p

y q es par 

q
p

y q es impar 

q
y

y

x

x
x



Se supone que la fracción

pes una fracción irreducible, es decir,

q



.

Las gráficas pueden tener otras formas que aquí no se muestran. Sólo mostramos las más usuales.

Propiedades de exponentes y radicales
Si

, entonces:

Insistimos en que estas propiedades son ciertas siempre y cuando

e

. En este

4

Funciones elementales básicas

caso, no hay ningún problema al aplicarlas. Sinembargo, muchas de ellas se pueden
emplear cuando alguno de los valores es negativo y es aquí, sobre todo en la propiedades
relacionadas con los radicales, cuando surgen los problemas y hay que tener mucha
precaución a la hora de usarlas. Veamos algún ejemplo:

Ejemplo 1:
Si n es impar la propiedad

se puede aplicar cualquier valor de x y de y.

Es decir,
si n es impar 
Por ejemplo,

.Sin embargo, cuando la raíz es de orden par, el escribir la raíz de un producto como el
producto de las raíces puede acarrear serios problemas si ambos factores no son positivos.
Si tomamos
e
, ¿se cumple que
?
Todo lo comentado aquí también es válido para la propiedad

..

Ejemplo 2:
Otra propiedad con la que hay que tener mucho cuidado al aplicarla sobre valores
negativos es

.De nuevo, si n es impar (el valor de m es indiferente) la propiedad tiene carácter general
para cualquier valor real de x.
El problema vuelve a surgir cuando el valor de n es par. Siempre que aparece la expresión
solemos simplificarla empleando la propiedad anterior (
concluimos que
, sea cuál sea el valor de x.


Si x es positivo, la propiedad está correctamente aplicada.

Pensemos un poco: ¿Tiene sentido la expresión

) y

cuando x es un número

negativo?
Si sustituimos, por ejemplo, x por (7) la expresión quedaría como
expresión que no tiene sentido porque un número positivo,
hemos convenido que

1

,

(recordemos que

), nunca puede ser igual a un número negativo1.

No hay que confundir lo aquí explicado con el hecho de que las soluciones de laecuación

sean

.

Funciones elementales básicas

Para no tener problemas, conviene acostumbrarse desde el principio a usar la propiedad
correcta que dice:

Las funciones potenciales aparecen con frecuencia en biología. Muchas veces, al estudiar
dos variables conjuntamente se deduce que una de ellas es proporcional a una potencia de
la otra, es decir, si x e y representan dichas...