Grafos

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Teoría de Grafos

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Teoría de grafos

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Teoría de grafos
En matemáticas y en ciencias de la computación, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos (tambiénllamadas gráficas). Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas (edges en inglés) que pueden ser orientados o no. Típicamente, un grafo se representa mediante una serie de puntos (los vértices) conectados por líneas (las aristas).
Diagrama de un grafo con 6 vértices y 7 aristas.

Historia
El trabajo de LeonhardEuler, en 1736, sobre el problema de los puentes de Königsberg es considerado el primer resultado de la teoría de grafos. También se considera uno de los primeros resultados topológicos en geometría (que no depende de ninguna medida). Este ejemplo ilustra la profunda relación entre la teoría de grafos y la topología. En 1845 Gustav Kirchhoff publicó sus leyes de los circuitos para calcular elvoltaje y la corriente en los circuitos eléctricos. En 1852 Francis Guthrie planteó el problema de los cuatro colores que Puentes de Königsberg. plantea si es posible, utilizando solamente cuatro colores, colorear cualquier mapa de países de tal forma que dos países vecinos nunca tengan el mismo color. Este problema, que no fue resuelto hasta un siglo después por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, puedeser considerado como el nacimiento de la teoría de grafos. Al tratar de resolverlo, los matemáticos definieron términos y conceptos teóricos fundamentales de los grafos.

Estructuras de datos en la representación de grafos
Existen diferentes formas de almacenar grafos en una computadora. La estructura de datos usada depende de las características del grafo y el algoritmo usado para manipularlo.Entre las estructuras más sencillas y usadas se encuentran las listas y las matrices, aunque frecuentemente se usa una combinación de ambas. Las listas son preferidas en grafos dispersos porque tienen un eficiente uso de la memoria. Por otro lado, las matrices proveen acceso rápido, pero pueden consumir grandes cantidades de memoria.

Teoría de grafos

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Estructura de lista
• lista deincidencia - Las aristas son representadas con un vector de pares (ordenados, si el grafo es dirigido), donde cada par representa una de las aristas.[1] • lista de adyacencia - Cada vértice tiene una lista de vértices los cuales son adyacentes a él. Esto causa redundancia en un grafo no dirigido (ya que A existe en la lista de adyacencia de B y viceversa), pero las búsquedas son más rápidas, al costode almacenamiento extra. En esta estructura de datos la idea es asociar a cada vertice i del grafo una lista que contenga todos aquellos vértices j que sean adyacentes a él. De esta forma sólo reservará memoria para los arcos adyacentes a i y no para todos los posibles arcos que pudieran tener como origen i. El grafo, por tanto, se representa por medio de un vector de n componentes (si |V|=n)donde cada componente va a ser una lista de adyacencia correspondiente a cada uno de los vértices del grafo. Cada elemento de la lista consta de un campo indicando el vértice adyacente. En caso de que el grafo sea etiquetado, habrá que añadir un segundo campo para mostrar el valor de la etiqueta. Ejemplo de lista de adyacencia

Estructuras matriciales
• Matriz de incidencia - El grafo estárepresentado por una matriz de A (aristas) por V (vértices), donde [arista, vértice] contiene la información de la arista (1 - conectado, 0 - no conectado) • Matriz de adyacencia - El grafo está representado por una matriz cuadrada M de tamaño número de vértices. Si hay una arista entre un vértice x y un vértice y, entonces el elemento contrario, es 0. , donde es el es 1, de lo

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