Grupos Algebra Moderna

GRUPOS
Cap. 16 (Grimaldi)

1

2

GRUPO
 Un grupo (G) es un conjunto de elementos con una

operación binaria (.) que satisface cuatro propiedades o
axiomas y una propiedad extra, conmutativa

3

GRUPO
 Definición 16.1
 Si G es un conjunto no vacío y ° es una operación binaria en G,

entonces (G, °) es un grupo si cumple las siguientes condiciones.
1) G es cerrado mediante°
Para todo a, b Є G, a°b Є G
2) Propiedad asociativa
Para todo a, b, c Є G, a°(b °c) = (a°b)°c.
3) Existencia de un elemento identidad o neutro
Existe un e Є G tal que a°e = e°a=a, para todo a Є G.
4) Existencia de inversos.
Para a Є G existe un elemento b Є G tal que a°b=b °a=e.
5) Grupo conmutativo abeliano
Si, a°b=b °a para todo a,b Є G.

4

GRUPO
 Ejemplo: G=({a,b,c,d},.)Cerradura:
Asociatividad: (a+b) + c = a+ (b + c )
Conmutativa: a+b=b+a (Grupo abeliano)
Elemento Identidad:
a
Existencia de inversos: (a,a), (b,d), (c,c)

5

GRUPO
 Ejemplo: G={e,a,b,c}
°

a

b

c

e

e

a

b

c

a

a

b

c

e

b

b

c

e

a

c

6

e

c

e

a

b

Elemento Identidad:
Existencia de inversos:
Grupo abeliano:

GRUPO Ejemplo: (Z6,+)
+ 0 1 2

4

5

0 0 1 2

3

4

5

1 1 2 3

4

5

0

2 2 3 4

5

0

1

3 3 4 5

0

1

2

4 4 5 0

1

2

3

5 5 0 1

7

3

2

3

4

Elemento Identidad:
Existencia de inversos:
Grupo abeliano:

GRUPO
 Ejemplo: Si p es primo (Z*7 , .)
1 2

3

4

5

6

1 1 2

3

4

5

6

2 2 4

6

1

3

53 3 6

2

5

1

4

4 4 1

5

2

6

3

5 5 3

1

6

4

2

6 6 5

4

3

2

1

.

8

Elemento Identidad:
Existencia de inversos:
Grupo abeliano:

GRUPO
 Para n Є Z+, n>1, (Zn,+) es un grupo abeliano.
 Si p es primo (Z*p, .) es un grupo abeliano.

 Definición 16.2:
 Para cualquier grupo G, el número de elementos de G es el

orden de G quese denota con |G|.
 Ejemplo:
 Para cualquier n Є Z+, |(Zn,+)| = n

 Para cualquier p primo | (Z*p, .)| = p-1
9

GRUPO
 Ejemplo:
 (Z9,+,.)

 U9 = {a Є Z9 | a es una unidad en Z9} = {a Є Z9 | a-1 existe}

10

GRUPO
 U9 ={1,2,4,5,7,8} ={a Є Z+ | 1 ≤ a ≤ 8 y mcd(a,9)=1}
1 2

4

5

7

8

1 1 2

4

5

7

8

2 2 4

8

1

5

7

4 4 8

7

2

15

5 5 1

2

7

8

4

7 7 5

1

8

4

2

8 8 7

5

4

2

1

.

11

Elemento Identidad:
Existencia de inversos:
Grupo abeliano:
Orden
U9=Grupo de unidades del anillo
U9= es cerrado mediante la operación binaria
de multiplicación módulo n.

GRUPO
 Teorema 16.1: Para cualquier grupo G.

El neutro o identidad de G es único.
b) El inverso de cadaelemento de G es único.
c) Si a,b,c Є G y ab=ac, entonces b=c.
(Propiedad cancelativa por la izquierda).
d) Si a,b,c Є G y ba=ca, entonces b=c.
(Propiedad cancelativa por la derecha)
a)

12

GRUPO
 Definición 16.3:
 Sea G un grupo y Ø ≠ H incluido G. Si H es un grupo

mediante la operación binaria de G, entonces H es un subgrupo
de G.
 Ejemplo:
 Sea G =(Z5,+). Si H = {0,2,4},entonces H es un subconjunto

no vacío de G.

+ 0 1 2

4

0 0 1 2

3

4

+

0

2

4

1 1 2 3

4

0

0

0

2

4

2 2 3 4

0

1

2

2

4

0

3 3 4 0
13

3

1

2

4

4

0

2

4 4 0 1

2

3

SUB-GRUPO
 Teorema 16.3
 Si G es un grupo y Ø≠H incluido G, con H finito, entonces H es

un Subgrupo de G si y solo si H es cerradomediante la
operación binaria G.

14

SUB-GRUPOS
 Un subconjunto H de un grupo G es un sub-grupo de G si H

es grupo con respecto a la operación en G.
 Si a y b son miembros de ambos grupos, entonces c=a*b es

también miembro de ambos grupos.
 El grupo comparte el mismo elemento identidad.
 Si a es un elemento de ambos grupos, la inversa de a es también
miembro de ambos grupos
 El...