Guia Calculo 2

CURSO DE CÁLCULO I PARA PÁGINA WEB UTEM.
PROFESOR RESPONSABLE:
CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE
PÁG. 1

SEMANA N° 08:

(04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD I I I:
TEMA 9:

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVO OPERACIONAL: Proveer un formulario de las identidades básicas.
OBJETIVO OPERACIONAL: Deducir algunas identidades fundamentales; a partir
de las identidadesbásicas.
OBJETIVO OPERACIONAL: Demostrar analíticamente una identidad trigonométrica
(9.1) DEFINICIÓN:
Se llama IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA a una expresión algebraica, que
contiene alguna función trigonométrica; y que se verifica o es verdadera para
todos los valores del argumento o ángulo en un dominio determinado.
(9.2)
3Ñ
33Ñ
333Ñ
3@Ñ
@Ñ
@3Ñ

@33Ñ

EJEMPLO:
"
=/8 ÐBÑ œ -9=/- ÐBÑpara todo B − ‘  ˜ „ 5 1 Î 5 − ! ™
=/- ÐBÑ œ -9="ÐBÑ
para todo B − ‘  ˜ „ Ð#5  "Ñ 1 Î 5 − ™
#
"
˜ „ 5 1 Î 5 − ! ™
>+8 ÐBÑ œ -9>+8 ÐBÑ
para todo B − ‘ 
#
#
>+8 ÐBÑ  -9= ÐBÑ œ Ð>+8 ÐBÑ  -9=ÐBÑÑÐ>+8 ÐBÑ  -9=ÐBÑÑ
a B − ‘  ˜ „ 5 1 Î 5 − ! ™
#
#
Ð=/8 ÐBÑ  -9=ÐBÑÑ œ =/8 ÐBÑ  #=/8 ÐBÑ-9=ÐBÑ  -9=# ÐBÑ a B − ‘
-9=/- $ Ð!Ñ  -9=/- $ Ð" Ñ
œ Ð-9=/- Ð!Ñ  -9=/-Ð" ÑÑÐ-9=/- # Ð!Ñ -9=/- Ð!Ñ-9=/-Ð" Ñ  -9=/- # Ð" ÑÑ
a ! ß " − ‘  ˜ „ 5 1 Î 5 − ! ™
#
Ð-9= Ð!Ñ  -9=Ð" ÑÑÐ-9= Ð!Ñ  -9= Ð!Ñ-9=Ð" Ñ  -9=# Ð" ÑÑ
œ -9=$ Ð!Ñ  -9=$ Ð" Ñ
a !ß " − ‘

(9.3) FORMULARIO BÁSICO DE IDENTIDADES
Considerando que están bien definidas, se tienen:
1)

=/8 Ð!Ñ œ

"
-9=/- Ð!Ñ

3)

-9= Ð!Ñ œ

"
=/- Ð!Ñ

5)

>+8 Ð!Ñ œ

"
-9>+8 Ð!Ñ

7)

>+8 Ð!Ñ œ

=/8 Ð!Ñ
-9= Ð!Ñ2)

-9=/- Ð!Ñ œ
4)

6)

=/- Ð!Ñ œ

-9>+8 Ð!Ñ œ
8)

"
=/8 Ð!Ñ
"
-9= Ð!Ñ

"
>+8 Ð!Ñ

-9>+8 Ð!Ñ œ

-9= Ð!Ñ
=/8 Ð!Ñ

FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROYECTO DE FACULTAD "CÁLCULO I: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

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(9.4) OBSERVACIÓN:
Consideremos el círculo de radio < œ "

Notar que del àngulo para el triángulo rectángulo que se forma en el orígen À
=/8 Ð!Ñ œ C
Ê
C œ < =/8 Ð!Ñ œ =/8 Ð!Ñ
<
B
-9= Ð!Ñ œ <
Ê
B œ < -9= Ð!Ñ œ -9= Ð!Ñ à ya que < œ "
y tenemos que se trata de un círculo cuya ecuación está dada por: B#  C# œ " à
de donde se obtiene la IDENTIDADFUNDAMENTAL
=/8# Ð!Ñ  -9=# Ð!Ñ œ " à a ! − ‘
(9.5) EJEMPLOS:
3Ñ
Simplifique la expresión:
>+8 Ð!Ñ  -9>+8 Ð!Ñ
SOLUCIÓN:
# !Ñ-9=# Ð!
Ð!Ñ
-9=
>+8 Ð!Ñ  -9>+8 Ð!Ñ œ =/8 Ð!Ñ  =/8 Ð!Ñ œ =/8 ÐÐ!Ñ -9= Ð!Ñ Ñ œ =/8 Ð!Ñ"-9= Ð!Ñ
-9=
Ð!Ñ
=/8
"
œ =/8"Ð!Ñ -9= Ð!Ñ œ =/- Ð!Ñ -9=/- Ð!Ñ
33Ñ
Demuestre que
>+8 Ð!Ñ  -9>+8 Ð!Ñ œ =/- Ð!Ñ -9=/- Ð!Ñ
DEMOSTRACIÓN:
ver 3ÑÞ
333Ñ

3@Ñ

@Ñ

@3Ñ@33Ñ

Simplifique la expresión:
>+8# Ð!Ñ  "
SOLUCIÓN:
# Ð!Ñ
#
-9=#
>+8# Ð!Ñ  " œ =/8# Ð!Ñ  " œ =/8 Ð!ÑÐ!Ñ Ð!Ñ œ
-9=
-9=#
Demuestre que
>+8# Ð!Ñ  " œ =/- # Ð!Ñ
DEMOSTRACIÓN:
ver 333ÑÞ

"
-9=# Ð!Ñ

Simplifique la expresión:
-9>+8# Ð!Ñ  "
SOLUCIÓN:
# !Ñ
#
-9=#
-9>+8# Ð!Ñ  " œ =/8# Ð!Ñ  " œ -9= Ð=/8# =/8 Ð!Ñ œ
Ð!Ñ
Ð!Ñ
Demuestre que
-9>+8# Ð!Ñ  " œ -9=/- # Ð!ÑDEMOSTRACIÓN:
ver @ÑÞ

œ =/- # Ð!Ñ

"
=/8# Ð!Ñ

œ -9=/- # Ð!Ñ

#

"#-9= E
Demuestre que
=/8 E -9= E œ >+8 E  -9>+8 E
DEMOSTRACIÓN:
#
E
-9=
-9=#
>+8 E  -9>+8 E œ =/8 E  =/8 E œ =/8 E-9= E E œ
-9=
E
=/8 E
#
"
œ =/8#-9= E
E -9= E

Ð"-9=# EÑ -9=# E
=/8 E -9= E

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(9.6) FORMULARIO PARA EL ÁNGULO MEDIO:
(9.6.1) Deduzca una fórmula para =/8 Ð ) Ñ
#
SOLUCIÓN:
Se sabe que =/8# Ð!Ñ  -9=# Ð!Ñ œ "
a!−‘
)
# )
# )
Luego si ! œ # entonces =/8 Ð # Ñ  -9= Ð # Ñ œ "
)...