Guia de Matematicas 7º basicos

CAPÍTULO

5

Resolución de
Triángulos
Rectángulos

En la antigüedad la arquitectura (pirámides, templos para los dioses,...) exigió un alto
grado de precisión. Para medir alturas se basaban en la longitud de la sombra y el ángulo de
elevación del sol sobre el horizonte. En este procedimiento se utilizó una relación entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, que es loque conocemos hoy como la
relación pitagórica.

5.1

Triángulos rectángulos

Como ya se ha definido, un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
C

a : hipotenusa del triángulo rectángulo
a

BAC
b : cateto
c : cateto

b

A

B

c

El triángulo de lados 3, 4 y 5unidades, llamado
perfecto o sagrado, fue usado por los egipcios
para trazar ángulos rectos. En sus papiros se
observa que después de las inundaciones del
Nilo y construyendo triángulos rectángulos con
cuerdas, fijando los límites de las parcelas,
trazaban direcciones perpendiculares.

5.2.3 Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la sumade los
cuadrados de los catetos. Es decir:
a2 b2 c 2
A esta relación se le llama relación pitagórica.

C

a
b

A

c

B

105

5.2.3 El recíproco del teorema de Pitágoras
Si en un triángulo ABC se cumple a 2
recto es el ángulo cuyo vértice es A .

b2

c 2 , entonces ABC es rectángulo y el ángulo

Nota: Si tres números, a, b y c verifican una de las tres relacionespitagóricas entonces,
podemos construir un triángulo rectángulo cuyos lados tienen como longitudes a, b y c.
Queda para el lector verificar que las ternas de números utilizadas por los egipcios y los
hindúes cumplen con la relación pitagórica.

5.2.3 Aplicaciones del teorema de Pitágoras
Ejemplo 1: Los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 5 cm. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
Solución
Sillamamos: a a la hipotenusa; b y c a los catetos, aplicando el teorema de Pitágoras
tenemos a 2 12 2 5 2 169
a
169 13
por lo que obtenemos que la hipotenusa mide 13 cm
Ejemplo 2: Dado el triángulo de la figura, con los siguientes datos: e

9cm , g

4.5cm y

30 . Calcular : f y

Solución

F

Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos:

Por lo tanto: f

30

f
E

G

7.8 cmPara calcular el ángulo
90

e

g

e2 = f2 + g2
al reemplazar por los datos, tenemos:
f2 = g2 – 4.52 = 60.75
e2 = f2 + 4.52
f
60.75 7.8

, tenemos que

y

son complementarios (¿Porqué?), por lo tanto:

60

Ejemplo 3: Dado el ABC tal que:
a) a 10cm , b 8 cm y c 6 cm
b) a 9 cm , b 11cm y c 5 cm
Decidir si los datos dados en a) y/o en b) corresponden a un triángulorectángulo.
Solución

Tenemos que aplicar el recíproco del teorema de Pitágoras
Para los datos dados en a), si es rectángulo, la hipotenusa debería ser a y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debería cumplirse:
a2
(1) a 2
(2) b

106

2

b2

c2

100
c2

82

6 2 100

Por (1) y (2), se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos el ABC es
rectángulo en A.Para los datos dados en b), si es rectángulo, la hipotenusa debe ser b y lo otros dos los
catetos, en consecuencia debe cumplirse:
b2

a2

(1) b

2

(2) a 2

c2
121

c 2 92

5 2 106

Por (1) y (2), tenemos que no se cumple el teorema de Pitágoras, por lo tanto con estos datos
el ABC no es rectángulo.
Ejemplo 4: Dado un triángulo de lados 4 cm, 5 cm y 6 cm, calcular la alturasobre el lado menor y el área.
Solución
Al observar la figura, vemos que la altura divide al triángulo dado

h2

x2

52

h2

(4

36

h2

(4

C

4cm
I
D

5cm

x2

25

x )2

h2

x

6cm
h

en dos triángulos: CID y el CIE .
Al considerar estos triángulos rectángulos y aplicando
el teorema de Pitágoras, tenemos:
62

E

Al resolver el sistema, tenemos: h...