GUIA DISTRIBUCIONES MUESTRALES

UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

GUIA DE EJERCICIOS
DISTRIBUCIONES MUESTREALES

EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Suponga que el contenido de humedad por libra, medido en porcentaje, en un concentrado de proteína
deshidratada, sigue un modelo Normal, con media 3,5 y desviación estándar 0,25. Una muestra aleatoria
de 16 especímenes será analizada. Cada uno de estos especímenes consisteen una libra de este
concentrado.
¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté en el intervalo comprendido por la media ± 0,7
unidades de desviación estándar?
SOLUCION:

P (3.5 − 0.7 ⋅ 0.25 < x < 3.5 + 0.7 ⋅ 0.25) = P(3.325 < x < 3.675)
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
3
.
675
−
35
3
.
325
−
3
.
5
⎟ − P⎜ z <
⎟
⇔ P( x < 3.675) − P ( x < 3.325) = P⎜ z <
0.25 ⎟
0.25 ⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
⎟
⎟
16 ⎠
16
⎝
⎝
⎠
= P( z <2.8) − P ( z < −2.8) = 0.9974 − 0.0026 = 0.9948

2.- Los diámetros de las manzanas Red Delicious, de un huerto determinado están distribuidos
normalmente con una media de 2,63 pulgadas y una desviación estándar de 0,25 pulgadas.
a) ¿Qué porcentaje de las manzanas tiene un diámetro inferior a 2,25 pulgadas?
b) Si se toma una muestra de 100 manzanas. ¿Cuál es la probabilidad de que su media sea mayorque 2,56 pulgadas?
c) Encuentre el valor de “K” de modo que el 95% de la muestra de 100 manzanas tengan valores
medios que están a menos de “K” unidades de la media poblacional.
SOLUCION:

x : Diámetro de manzanas x → N (2,63;0,25)

2,25 − 2,63 ⎞
⎛
P (x < 2,25) = P⎜ z <
⎟ = P( z < −1,52 ) = 0,0643
0,25 ⎠
⎝
⎛ σ2⎞
⎟
b) n = 100 x → N ⎜⎜ μ ,
n ⎟⎠
⎝
a)

⎞
⎛
⎟
⎜
2
,
56
2
,
63
−
⎟ = 1 − P (z < −2,8) = 1− 0,0026 = 0,99
P (x > 2,56) = 1 − P(x < 2,56 ) = 1 − P⎜ z <
0,25 ⎟
⎜
⎟
⎜
10
⎠
⎝
c)

P(2,63 − K < x < 2,63 + K ) = 0,95
⎞
⎛
⎟
⎜ 2,63 − K − 2,63
2
,
63
2
,
63
+
K
−
⎟ = 0,95
P⎜
0,25
0,25
⎟
⎜
⎟
⎜
10
10
⎠
⎝
10 K ⎞
⎛ − 10 K
P⎜
⎟ = 0,95
0,25 ⎠
⎝ 0,25
P (− 40 K < z < 40 K ) = 0,95

P( z < 40 K ) − P( z < −40 K ) = 0,95
P (z < 40 K ) − [1 − P( z < 40 K )] = 0,95
P (z < 40 K ) − 1 + P( z < 40 K ) =0,95
⎛
⎞
2 P( z < 40 K ) = 1,95 ⇒ P⎜⎜ z < 40
K ⎟⎟ = 0,975 ⇒ 40 K = 1,96
{
1, 96 ⎠
⎝
K = 0,049

3.- El monto de facturas por cobrar, de la sociedad ABF, se distribuye en forma normal, con una media de
$177.000 y desviación estándar de $30.000.
a) Se decide aplazar el cobro al 5% de facturas con montos más bajos. ¿Cuál es el monto mínimo
necesaria para no aplazar el cobro?
b) Obtenga la probabilidadde que la media de una muestra aleatoria de tamaño 80 tenga una media
mayor de $180.000.
SOLUCION:
a)

X ∼N(177.000;30.0002)

X ∼ app. N (( μ;σ2/n)
La estandarización Z =

(X − μ)

σ 2 /n

∼ app. N (0;1 )

Entonces (0,25) P( X > 180000) = 1 - φ (

180000 − 177000
30000 2 / 80

) = 1 - φ (0,89) = (0,25)

= 1 – 0,8133 = 0,1867(0,25)

b)

P ( X ≤ x * ) = 0,05(0,25)

x * − 117000
= −1,645(0,25)30000
x * = 127,650(0,25)

EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Sabemos que el tiempo medio de espera en las colas del Banco "El interés interesado" es de 15 min.
con una desviación estándar de 5 minutos. Si tomásemos al azar a un grupo de 35 clientes:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera del grupo fuera menor de 17 minutos? b)
¿Cuál es la probabilidad de que estuviera entre 12 y 16minutos?
c) ¿Entre qué valores se encontraría el tiempo medio con una seguridad del 95%?.
2.- De una población normal con desviación estándar 25 se toma una muestra aleatoria de tamaño 100.¿Cuál
es la probabilidad de que la media de la muestra difiera de la media de la población en 3 o más unidades?
3.Un estudio reciente ha entregado la información que la rentabilidad histórica mensual de un grupo
deacciones transadas en bolsa, es una variable aleatoria normal con media 1,5% y una desviación estándar
de 0,8%. Usted invierte en un grupo de 16 de estas acciones:
a) Cuál es la probabilidad que su rentabilidad promedio sea negativa?
b) Usted pierde dinero al obtener una rentabilidad negativa. ¿Qué podría concluir a partir del resultado
anterior?
4.- El calibre de un árbol es el diámetro medido...

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