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Cap´ ıtulo 1

Geometr´ Proyectiva del Plano ıa
1.1 El plano proyectivo 2D

Un punto en el plano se puede representar por el par de coordenadas (x, y) en I 2 . As´ es com´n R ı, u 2 . Considerando a I 2 como un espacio vectorial, el par de coordenadas identificar el plano con I R R (x, y) es un vector – un punto es identificado como un vector. En esta secci´n se introducir´ la o a notaci´n decoordenadas homog´neas para puntos y l´ o e ıneas sobre un plano. Vectores filas y Columnas En secciones posteriores consideraremos los mapeos lineales entre espacios vectoriales, y representaremos tales mapeos como matrices. Se sabe que el producto de una matriz por un vector es otro vector, la imagen bajo el mapeo. Esto hace la distinci´n entre vectores filas y vectores columna, o ya que una matrizpuede ser multiplicada a la derecha por un vector columna y a la izquierda por un vector fila. Las entidades geom´tricas ser´n representadas por vectores columna. Un s´ e a ımbolo en negrita como por ejemplo x, siempre representar´ un vector columna, y su traspuesta un vector a fila, x . De acuerdo con esta convenci´n, un punto en el plano ser´ representado por el vector o a columna (x, y) , enlugar de su traspuesto, el vector fila (x, y). Si se escribe x = (x, y) , ambos lados de esta ecuaci´n representan vectores fila. o

1.1.1

Puntos y L´ ıneas

Representaci´n homog´nea de l´ o e ıneas Una l´ ınea en el plano se representa por la ecuaci´n ax + by + c = 0, valores diferentes de a, b y o c dan diferentes l´ ıneas. As´ una l´ ı, ınea puede representarse por el vector columna (a, b, c). La correspondencia entre l´ ıneas y vectores (a, b, c) no es uno a uno, pues las l´ ıneas ax + by + c = 0 y (ka)x + (kb)y + (kc) = 0 son las mismas para toda constante k = 0. En efecto, dos vectores relacionados entre s´ por un factor de escala son considerados equivalentes. Una clase de equivalencia ı 1

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CAP´ ITULO 1. GEOMETR´ PROYECTIVA DEL PLANO IA

de vectores bajo esta relaci´nde equivalencia se conoce como vector homog´neo. El conjunto de o e 3 − (0, 0, 0) forman el Espacio Proyectivo I 2 . La notaci´n clases de equivalencia de vectores en I R P o −(0, 0, 0) indica que el vector 0, el cual no corresponde a una l´ ınea est´ excluido. a

Representaci´n homog´nea de puntos o e Un punto x = (x, y) pertenece a la l´ ınea l = (a, b, c) si y solo si ax + by + c = 0. Estaecuaci´n se o puede escribir utilizando el producto interno (producto escalar) de vectores como (x, y, 1)(a, b, c) = (x, y, 1)l = 0; el vector (x, y, 1) es el punto (x, y) en I 2 representado como un vector de 3 R componentes. Note que para cualquier constante k = 0 y l´ ınea l la ecuaci´n (kx, ky, k)l = 0 si y o solo si (x, y, 1)l = 0. Es natural, por lo tanto, considerar el conjunto de vectores(kx, ky, k) para distintos valores de k como que representan el mismo punto (x, y) en I 2 . De esta manera, al R igual que con las l´ ıneas, los puntos se representan por vectores homog´neos. Un vector homog´neo e e arbitrario, representativo de un punto tiene la forma x = (x1 , x2 , x3 ) , que representa el punto (x1 /x3 , x2 /x3 ) en I 2 . Los puntos considerados como vectores homog´neos sontambi´n elementos R e e 2. de I P ınea l si y solo si Resultado 1.1.1 Un punto x pertenece a la l´ x l = 0. (1.1)

Note que la expresi´n x l es el producto escalar de los vectores x y l respectivamente. El producto o escalar x l = l x =< x, l >. En general la expresi´n l x ser´ la preferida. Se debe distinguir entre o a las coordenadas homog´neas x = (x1 , x2 , x3 ) de un punto, el cual es un vector de3 coordenadas e y la representaci´n en coordenadas inhomogeneas (x, y) del mismo punto, el cual es un vector de o 2 coordenadas.

Grados de libertad (dof ) Es claro que para especificar un punto se necesitan dos valores, llamados la coordenada x y la coordenada y. De manera an´loga una l´ a ınea queda determinada por dos par´metros (las dos a relaciones independientes {a : b : c}) y as´ posee...