Guia uam cni 2010

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DETERMINANTES

Introducción

Los determinantes son un tema del álgebra lineal con una gran variedad de aplicaciones, una aplicación que ya utilizamos fue la utilidad del determinante para el cálculo del volumen del paralelepípedo que permiten construir tres vectores no coplanares.

Ya en el siglo XV, matemáticos notables realizaron trabajos referidos a los determinantes y de manera previa ala formalización del álgebra de matrices, pero recién en 1772, Vandermonde publicó el primer escrito donde estudió en forma sistemática este tema.

La definición formal para el cálculo de un determinante asociado a una matriz cuadrada dice:

Dada una matriz A = ( ai j ) ( Knxn, se llama determinante de orden n asociado a la matriz A, que se simboliza: [pic] o [pic], al número realo complejo que se obtiene por sumar todos los productos posibles entre elementos que pertenecen a filas y columnas diferentes, asociado un signo según el producto sea de clase par o de clase impar.

Aquí surge una dificultad consistente en comprender que significa que un producto sea de clase par o impar, sin embargo, absteniéndonos de explicar este concepto, podemos observar que en losdeterminantes de orden 2 y de orden 3 que hemos usado cuando calculamos el producto vectorial o bien el producto mixto entre Vectores, efectivamente el valor del determinante surge de sumar los productos entre elementos que están en filas y columnas distintas, por ejemplo:

Determinante de orden 2:
[pic]
Observemos que:
• el primer término es el producto entre un elemento de la fila 1 ycolumna 1 por uno de la fila 2 y columna 2.
• el segundo término es el producto entre un elemento de la fila 1 y columna 2 por uno de la fila 2 y columna 1.
Estos dos productos son todos los posibles que se forman con elementos que pertenecen a filas y columnas diferentes. El hecho de que el segundo producto este restando es porque ese producto se corresponde con ser de clase impar. Más adelante,explicaremos como surgen estos signos.

En general, la regla válida solo para resolver determinantes de orden 2 es:

[pic]

Determinante de orden 3:
Sea el determinante de orden 3: [pic] para armar todos los productos entre elementos que pertenecen a filas y columnas distintas podemos proceder de la siguiente manera:
Escribimos debajo del determinante dado las dos primeras filas, estopermite trazar seis diagonales: tres de ellas descienden de izquierda a derecha y las otras tres descienden de derecha a izquierda.
Los productos que surgen de las tres diagonales que descienden de izquierda a derecha se toman con su signo y los productos que surgen de las diagonales que descienden de derecha a izquierda se toman con el signo opuesto
Es decir:

[pic]

Por lo tanto: [pic][pic]

En general, la regla válida sólo para calcular un determinante de orden 3, es:

Esta regla, SOLO VÁLIDA PARA DETERMINANTES DE ORDEN 3, se conoce como regla de Sarruz.

Notemos que en el caso del determinante de orden 2 hay sólo dos productos y en el determinante de orden 3 hay en cambio 6 productos y además, la mitad de ellos se suman y la otra mitad se restan.
¿Qué sucederá en undeterminante de orden 4 o de orden 5 o de orden 6 o ...o de orden n?
En estos casos la cantidad de productos que se deben sumar son: 4! = 24 para el determinante de orden 4, 5! = 120 para el determinante de orden 5, 6! = 720 para el determinante de orden 6,..., en general n! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3). ... .6.5.4.3.2.1[1] para un determinante de orden n, donde también se cumple que la mitad delos productos posibles se deben sumar y la otra mitad se deben restar.

Convengamos que no es una forma práctica de cálculo, es por esto que los matemáticos han desarrollado otros métodos para el cálculo de determinantes. Uno de estos métodos es el que estudiaremos en esta parte del módulo y se denomina: Regla de Laplace o desarrollo de un determinante por cofactores.

La Regla de...
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