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´ ´ XI OLIMPIADA NACIONAL DE MATEMATICA Noveno Grado Prueba Presencial
19 de Marzo de 2011

Problema 1
´ Considere un tri´ ngulo rect´ ngulo is´sceles con catetos iguales a 1. Sobre la hipotenusa de este, se traza un segundo tri´ ngulo a a o a rect´ ngulo con un cateto igual a 1 como muestra lafigura. En la hipotenusa del segundo tri´ ngulo se levanta un tercer tri´ ngulo a a a ´ rect´ ngulo con cateto igual a 1 y as´ sucesivamente. Encuentre lalongitud de la hipotenusa y del area del tri´ ngulo n´ mero a ı a u 2011. Explique sus resultados. 1 90° 1 90° 90° 1 1

Problema 2
A un libro cuyas p´ginas est´ n numeradas del 1 al 1000, se le arrancaron 25 hojas (no necesariamente consecutivas). ¿Ser´ posia a a ble que la suma de los 50 n´ meros de p´gina que aparecen en las hojas arrancadas sea 2000? u a

Problema 3
Sea E(n) la suma de los d´gitos pares de n. Por ejemplo, E(5681) = 6 + 8 = 14. ¿Cu´l es el valor de E(1) + E(2) + ... + E(100)? ı a

Problema 4
Simplique la siguiente expresi´ n o  1 1  1 1  1  2 − 3  4 − 5  6 −        1 1  1 1  1      −4 5−6 7− 3
1 7 1 8

      ···      

1 1 998 − 999 1 1 999 − 1000

      

Problema5
´ Considere un hex´ gono con la propiedad de que todos sus angulos internos son iguales, pero sus lados no son necesariamente a iguales. Demuestreque la suma de las longitudes de dos lados consecutivos es igual a la suma de las longitudes de los dos lados respectivamente opuestos.

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