Guía De Límites Resueltos

Ana Mar´ Albornoz R.
ıa

1

Ejercicios resueltos
1. Calcular los siguientes l´
ımites algebraicos
x2 + 1
22 + 1
5
=2
=
2−1
x→2 x
2 −1
3

1) l´
ım

x2 − 2x + 1
12 − 21 + 1
0
x2 − 2x + 1
(x − 1)2
=
= pero l´
ım
= l´
ım
=
x→1
x→1
x→1 x(x2 − 1)
x3 − x
13 − 1
0
x3 − x

2) l´
ım

(x − 1)
1−1
0
(x − 1)2
= l´
ım
=
= =0
x→1 x(x − 1)(x + 1)
x→1 x(x + 1)1(2)
2
l´
ım

√
√
√
(x − 1) 2 − x
0
(x − 1) 2 − x
(x − 1) 2 − x
3) l´
ım
= , pero l´
ım
= l´
ım
=
x→1
x→1
x→1 (1 − x)(1 + x)
1 − x2
0
1 − x2
√
√
−(1 − x) 2 − x
−1 2 − x
−1
l´
ım
= l´
ım
=
x→1 (1 − x)(1 + x)
x→1
1+x
2
1
3
1
3
−
l´
ım
−
= ∞ − ∞ que es una forma indetermi3 x→1 1 − x
x→1 1 − x
1−x
1 − x3
nada.
1
3
1
3
Pero l´
ım
−
= l´
ım
−=
3
x→1 1 − x
x→1 1 − x
1−x
(1 − x)(1 + x + x2 )

4) l´
ım

3)
(1 + x + x2 − 3)
(1 + x + x2 )
−
= l´
ım
=
x→1
1−x
(1 − x)(1 + x + x2 ) x→1 (1 − x)(1 + x + x2 )
l´
ım

(x2 + x − 2)
(x − 1)(x + 2)
= l´
ım
=
x→1 (1 − x)(1 + x + x2 )
x→1 (1 − x)(1 + x + x2 )
l´
ım

−(1 − x)(x + 2)
−(x + 2)
−3
= l´
ım
=
= −1
2)
2)
x→1 (1 − x)(1 + x + x
x→1 (1 + x + x
3
l´ım

x+2
x−4
x+2
x−4
+
= l´
ım
+
=
x→1 x2 − 5x + 4
3(x2 − 3x + 2) x→1 (x − 4)(x − 1) 3(x − 2)(x − 1)

5) l´
ım

3(x + 2)(x − 2) + (x − 4)(x − 4)
3(x2 − 4) + (x − 4)2 )
= l´
ım
=
x→1
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
l´
ım

4x2 − 8x + 4
3x2 − 12 + x2 − 8x + 16
= l´
ım
=
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
l´
ım

4(x2 − 2x + 1)4(x2 − 2x + 1)
= l´
ım
=
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
l´
ım

4(x − 1)2
4(x − 1)
0
= l´
ım
=
=0
x→1 3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
x→1 3(x − 4)(x − 2)
−24
l´
ım

2

Ana Mar´ Albornoz R.
ıa
2 + x − 3x3
6) l´
ım
= l´
ım
x→∞ 5 − x2 + 3x3
x→∞

2+x−3x3
x3
5−x2 +3x3
x3

=

2
3
l´ x
ım 5
x→∞
x3

+
−

x
x3
x2
x3

−
+

3x3
x3
3x3x3

=

0+0−3
= −1
0−0+3

x3
x3 − x(x2 + 1)
x3 − x3 − x
−x
− x = l´
ım
= l´
ım
= l´
ım 2
=
2+1
2+1
2+1
x→∞ x
x→∞
x→∞
x→∞ x + 1
x
x
− x2
0
l´ x2 x 1 =
ım
=0
x→∞
1+0
2 + x2
x

7) l´
ım

√
√
x2 + 1 − 3 x
8) l´
ım √
= l´
ım
x→∞ 4 x3 + 5x − x
x→∞
x2 +1
x2

= l´
ım

x→∞

4

−

x3 +5x
x4

3
x1/2

−1

√
√
x2 +1−3 x
x
√
43
x +5x−xx

1+

= l´
ım

x→∞

4

1
x

1
x2

+

=

√
1+0−0
= −1
=√
4
0+0−1
−1

−

5
x3

√
√
x2 +1
− 3 xx
x
l´
ım √ 3
4
x +5x
x→∞
−x
x
x

3
√
x

√

1 + x2 − 1
Racionalizando obtenemos
x→0
x
√
√
1 + x2 − 1 1 + x2 + 1
1 + x2 − 1
√
l´
ım
= l´
ım √
=
x→0
x
1 + x2 + 1 x→0 x( 1 + x2 + 1)

9) l´
ım

x
0
x2
√
= l´ √
ım
= =0
2 + 1)
2+ 1)
x →0
x→0 x( 1 + x
2
1+x
l´
ım

√

x−1−2
Racionalizando obtenemos
x→5
x−5
√
√
x−1−2 x−1+2
x−1−4
x−5
√
√
√
l´
ım
= l´
ım
= l´
ım
=
x→5
x→5 (x − 5)( x − 1 + 2)
x→5 (x − 5)( x − 1 + 2)
x−5
x−1+2
1
1
l´ √
ım
=
x→5
4
x−1+2

ım
10) l´

√
√
√
3
7 + x3 − 3 + x2
7 + x3 − 3 + x2 + 2 − 2
11) l´
= l´
ım
=
ım
x→1
x→1
x−1
x−1
√
√
3
7 + x3 − 23 + x2 − 2
l´
ım
−
Racionalizando cada fracci´n obtenemos:
o
x→1
x−1
x−1
√
√
√
√
3
7 + x3 − 2 3 (7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
3 + x2 − 2 3 + x2 + 2
√
√
l´
ım
=
−
3
x→1
x−1
x−1
3 + x2 + 2
(7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4
√
3

l´
ım

x→1

l´
ım

x→1

(x − 1) 3

(7 + x3 ) − 8
3 + x2 − 4
√
√
−
=
(7 + x3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4) (x − 1)( 3 + x2 + 2)
x3 − 1

√
3(x − 1) 3 (7 + x3 )2 + 2 7 + x3 + 4)

−

x2 − 1
√
=
(x − 1)( 3 + x2 + 2)

3

Ana Mar´ Albornoz R.
ıa
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(x2 + x + 1)
√
√
−
=
3
x→1 (x − 1) 3 (7 + x3 )2 + 2 7 + x3 + 4)
(x − 1)( 3 + x2 + 2)
l´
ım

l´
ım

x→1

3

((x2 + x + 1)
(x + 1)
√
−√
=
3 )2 + 2 3 7 + x3 + 4)
( 3 + x2 + 2)
(7 + x

1+1+1
2
3
2
12
1
−
=
− = − =−
4+4+4...