Habilidades numericas

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Proposición lógica

Antes de dar el concepto de lo que es una proposición, trataremos de establecer cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas o falsas:

a. 9 es divisible por 4.
b. Miguel Grau tuvo úlcera estomacal.
c. 6 es un número entero y par.
d. ¿Qué tiempo hace hoy?
e. ¡Socorro!
f. x + 3 > 5

Después de analizar cada una de ellas concluimos que (a) es falsay (c) es verdadera; respecto de (b) es probable que dudemos en responder, pero lo cierto es que es o verdadera o falsa y no ambas ya que en la realidad debe haber ocurrido que Miguel Grau tuvo o no úlcera estomacal, pero sólo una de las posibilidades es correcta.

Por otra parte notamos que no tiene sentido afirmar que (d) y (e) son verdaderas o falsas y finalmente para establecer la verdado falsedad de (f) necesitamos conocer el valor de “x” y no lo tenemos.

A los enunciados que como (a), (b) y (c) son unívocamente verdaderos o falsos se les denomina proposiciones; por esta razón (d) y (e) no son proposiciones (En general las preguntas y las exclamaciones no son proposiciones). Debemos anotar también que la expresión (f), si bien no es proposición, depende del valor de “x”para serlo; a este tipo de expresiones se les denomina funciones proposicionales o enunciados abiertos.


De lo anterior se desprende que:

Una proposición es toda expresión libre de ambigüedad y que tiene la propiedad de que es verdadera o falsa, pero sólo una de ellas.
Si una proposición es verdadera se le asignará el valor de verdad simbolizado por “V” y si es falsa se leasignará el valor de verdad simbolizado por “F”.

Notación: Representaremos las proposiciones por letras minúsculas de la segunda mitad del alfabeto, como: “p”; “q”; “r”; “s”, etc, que llamaremos variables proposicionales.

Conectivos u operadores lógicos

A partir de dos proposiciones dadas podemos formar una tercera, si las unimos mediante expresiones como “y”; “o”; “si ..........entonces”; “........... si y solo si ...........”, etc. A estas expresiones de enlace los llamaremos conectivos u operadores lógicos.

Por ejemplo:

p: 20 es un número par.
q: 20 es divisible por 5.
“p” y “q”: 20 es un número par y es divisible por 5.

A. La negación (~)

Representa la inversión del valor de verdad de una proposición.

Por ejemplo:

p:13 es un número primo.


Su negación es:

~p: No es cierto que 13 es un número primo.


Observamos en el ejemplo que “p” es verdadero y “~p” es falso; esto es porque “p” y “~p” tienen valores de verdad opuestos. En general:

[pic] Se lee: [pic]


B. Conjunción (∧)

Dos proposiciones se enlazan por medio de la palabra “y” para formar una nueva proposición.Por ejemplo:

p: Roxana comió pescado.
q: Roxana se indigestó.

La proposición quedaría:

“p” y “q”: Roxana comió pescado y se indigestó

El valor de verdad de una conjunción será dado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen y de acuerdo a la siguiente tabla:

 [pic] Se lee: [pic]

C. Disyunción inclusiva (∨)

Dosproposiciones se enlazan por medio de la palabra “o” para formar una nueva proposición.

Por ejemplo:

p: 4 es menor que 7.
q: 4 es igual a 7.

La proposición quedaría:

“p” o “q”: 4 es menor que 7 o igual a 7.

El valor de verdad de una disyunción inclusiva será dado por los valores de verdad de las proposiciones que la componen y de acuerdo a la siguiente tabla:[pic] Se lee: “p” o “q”

Nota: También existe la llamada disyunción exclusiva que se denota por "p Δ q"; se lee “o p o q” y es verdadera cuando solo una de las componentes es verdadera.
D. La condicional (→)

Si "p" y "q" representan proposiciones cualesquiera, la condicional de “p” y “q” se denota por “p → q” y se lee “si p, entonces q”. En “p → q”, la proposición representada...
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