hardy cross

EL MÉTODO DE HARDY CROSS
GENERALIDADES
El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:
• Ley de continuidad de masa en los nudos;
• Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación deHazen& Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach.
La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna dela tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía.
La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vezdepende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías.
Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,  Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales ocorregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva.
Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algoprohibitivo u obstaculizador, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.
Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red completamente cuantas vecessea conveniente.
FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS
El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:
1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)
Donde,
Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.
qi : Caudal concentrado en el nudo i
m : Número de tramos que confluyen al nudo i.
2. Ley deConservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

(2)
donde,
hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij.
n : Número de tramos del circuito i
ECUACIONES BÁSICAS
La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)
Donde,
V : Velocidad del flujo, m/s.
C: Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.
D : Diámetro de la tubería, m.
Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).

(4)
Por continuidad,
Luego,

(5)
De la cual resulta:

(6)
Donde,
Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.
L : Longitud del tramo de tubería, m.
hf : Pérdida de carga, m.
La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro seexprese en pulgadas y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.

(7)
Haciendo

(8)
Resulta:

(9)
La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:

(10)
donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy
Y en términos del caudal, expresa:

(11)
Haciendo;

(12)
Resulta:

(13)
En general, la ecuación de pérdidas de...