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30 de marzo de 2009

Teorema del binomio

Parte I Teorema del binomio

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Teorema del binomio

Teorema del binomio

Potencias de un binomio

(x + y)2 = (x + y)(x + y) = xx + xy + yx + yy = x 2 + 2xy + y 2

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Teorema del binomio

Teorema del binomioPotencias de un binomio (x + y)3 = (x + y)(x + y)(x + y) Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cada factor. En nuestro caso: (x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy

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Teorema del binomio
Potencias de un binomio (x + y)3 = (x + y)(x +y)(x + y) Cada sumando se obtiene al hacer el producto de un elemento de cada factor. En nuestro caso: (x + y)3 = xxx + xxy + xyx + xyy + yxx + yxy + yyx + yyy Agrupando términos semejantes tenemos: (x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3

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Teorema del binomio
Potencias de un binomio

(x + y)4 = (x + y)(x + y)(x + y)(x + y) = (x + y)(x + y)3 = xxxx + xxxy + xxyx + xxyy +xyxx + xyxy + xyyx + xyyy + yxxx + yxxy + yxyx + yxyy + yyxx + yyxy + yyyx + yyyy Note que a cada uno de los sumandos de la potencia anterior lo precedemos de una x en el primer renglón y de una y en el segundo.
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Potencias de un binomio Agrupandotérminos semejantes: (x + y)4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4

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Teorema del binomio

Potencias de un binomio La forma en que hemos hecho los anteriores productos nos lleva a dos conclusiones: 1. Podemos encontrar una potencia fija del binomio de una manera sencilla si conocemos la anterior como lo hicimos en el caso de 3 a 4. Aún más: Se conoce una forma de encontrar loscoeficientes de (x + y)n

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Triángulo de Pascal

Veamos cómo se construye: 1 1 1

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Triángulo de Pascal

Veamos cómo se construye: 1 1 1 1 2 1

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Triángulo de Pascal

Veamos cómo se construye: 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1

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Triángulo de Pascal

Veamos cómo se construye: 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 6 1 4 4 1

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Triángulo de Pascal

Veamos cómo se construye: 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 6 1 4 4 1 5 5 10 10 1 1

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Triángulo de Pascal Esta forma tiene un defecto: para encontrar los coeficientes de (x + y)25 tenemos que construir los24 renglones anteriores. Busquemos otras alternativas

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Potencias de un binomio 2. Si no conocemos la expresión de la anterior potencia podemos proceder como lo hicimos en la potencia 3 donde ignoramos la potencia 2. En este último caso la clave estáen dos observaciones:
(a) Cada sumando se obtiene multiplicando un elemento x o y de cada uno de los factores. Así, en cada sumando, las suma de las potencias de x mas las de y debe ser siempre n si estamos encontrando (x + y )n . (b) Cuando agrupamos términos semejantes el coeficiente de cada sumando corresponde a la cantidad de veces que aparece el producto de r factores x por n − r factores...