Herramientas matematicas para fisica

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HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS
Consideraremos conocidas por el alumno las nociones básicas de manejo de vectores un es espacio vectorial (en realidad, un espacio afín), álgebra de vectores y trasformaciones de coordenadas en un espacio vectorial (con cambio tanto de origen de coordenadas como de ejes). También consideramos que el alumno conoce las herramientas básicas de cálculo diferencial e integranen una variable (realización de derivadas y de integrales indefinidas y definidas), y tiene un manejo básico del análisis de funciones de una variable.
Estas herramientas no persiguen tanto el rigor matemático en sus definiciones como la utilidad de las conceptos
CONCEPTO DE DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Se denomina diferencial de una variable al incremento infinitesimal de esa variable()[]xΔxxdxΔx−+=→lim0
La diferencial de una función de una variable viene dada por elproducto de la derivada de la función respecto a la variable, por la diferencial de la variabledxxfdxdxdf )( )(=
La diferencial de una función de una variable es a su vez función de la misma variable
En una función de una sola variable, el cociente de la diferencial de la función y la diferencial de la variable coincidecon la derivada de la función
EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN COORDENADAS CARTESIANAS, ESFÉRICAS Y CILÍNDRICAS
xvDado un vector en un espacio de tres dimensiones, una vez determinado el origen de coordenadas y los ejes coordenados, el vector se puede expresar mediante la tripla de sus tres coordenadas respecto al sistema de referencia:XYZyvzvvr()kvjvivvvvvzyxzyxrrrr++=,,
Existen dos sistemas decoordenadas técnicos que permiten expresar el mismo vector de otra forma, y que son útiles en ciertas situaciones de simetría física:
•Coordenadas esféricas: dado un origen y unos ejes, las coordenadas esféricas permiten expresar un vector mediante su módulo, el ángulo θentre el vector y el eje Z(colatitud) y el ángulo φentre la proyección del vector sobre el plano XY, y el eje X(azimut)XYZvrϕθ()ϕθ,,vvr
•Coordenadas cilíndricas: dado un origen y unos ejes, las coordenadas cilíndricas permiten expresar un vector mediante el módulo de la proyección del vector sobre el plano XY, la componente zdel vector, y el ángulo φentre la proyección del vector sobre el plano XY, y el eje X(azimut)
Zvrϕzv()ϕρ,, zvvvr
Yρv
X
Existen relaciones entre las coordenadas cartesianas, las esféricas y lascilíndricas de un vector:
ϕϕθρcos cos vsenvvx==ϕϕθρsenvsensenvvy ==θcos vvz=222zyxvvvv++=2222222222arccoszyxzzyxyxzyxvvvvvvvvvarcsenvvvarctg++=+++=+=θ22yxvvv+=ρ2222arccosyxxyxyxyvvvvvvarcsenvvarctg+=+==ϕ
En un espacio vectorial de dos dimensiones, existe un sistema de coordenadas técnico, llamado coordenadas polares, que permite expresar el vector mediante su módulo y su azimut φ
ϕcos vvx=ϕsenvvy=vryvxvϕ()()ϕ, , vvvvvyxrr=22yxvvv+=2222arccosyxxyxyxyvvvvvvarcsenvvarctg+=+==ϕ
PRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL
Además del producto por un escalar, que define la estructura del espacio vectorial, usaremos dos operaciones entre vectores de unespacio tridimensional:
•Producto escalar: el resultado del producto escalar entre dos vectores es un escalar, cuyo valor es el producto de los módulosdelos dos vectores y del coseno del ángulo que formanθvrθcos wvwv=rrwr
•Expresado en coordenadas cartesianas, tiene la forma:
zzyyxxwvwvwvwv++=rr •Corresponde al producto del módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él:vrwrwvwvwvw =rr
•Cuando dos vectores son paralelos, su producto escalar es simplemente el producto de sus módulos; cuando dos vectores son perpendiculares, suproducto escalar es cero
wvwvwv||=⇒rrr0=⇒⊥wvwvrrr
•Producto vectorial: el resultado del producto vectorial entre dos vectores es otro vector, cuyo módulo es el producto de los módulos de los vectores y el seno del ángulo que forman, su dirección, perpendicular al plano formado por los dos vectores (o sea, perpendicular a ambos), y su sentido, el marcado por la “regla de la mano derecha, del...
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