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FUNCION DE DOS VARIABLES
Definición:
Una función de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de número
reales(x, y ) de un conjunto D, un número real único denotado por f=(x,y ).El conjunto D
es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir I={f(x, y )|
(x, y)∈D}
Con frecuencia se escribe
Z=f(x,y)
para hacer explícito el valor tomado por (f)en un punto
(x,y).En este caso se dice que x, y son las variables independientes, y z es la variable
Dependiente.
Observe que la definición dada indica que el dominio es una parte o subconjunto del plano
cartesiano y la función le asigna a cada punto de ese segmento de plano, un único número real
comprendido en un intervalo de los números reales.

Definición (gráfica de funciones de dosvariables)
La gráfica de una función es el conjunto de puntos tales que y . Es decir,


Observación : La gráfica de una función de dos variables puede interpretarse geométricamente como una superficie en el espacio de forma tal que su proyección sobre el plano es , el dominio de .En consecuencia, a cada punto en le corresponde un punto en la superficie y, a la inversa, acada punto en la superficie le corresponde un punto en (figura 1).

CURVAS Y SUPERFICIES DE NIVEL

Otra forma de visualizar una función de dos variables consiste en utilizar un campo escalar en el que se asigna al punto (x, y) el escalar z= f (x, y). Un campo escalar queda caracterizado por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de las cuales el valor de f (x, y) esconstante.
Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de tres variables y c una constante la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. tal como se muestra en la figura siguiente.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentarámediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra loscorrespondientes valores de f (x).
x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha
x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1
f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31
f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en elnúmero 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, yescribimos
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES INTERPRETACION GEOMETRICA

La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables e podemos medir dos razones de cambio: una según cambia , dejando a fija y otra según cambia , dejando a fija.

Suponga que dejamos variar sólo a ,dejando a fija, digamos , en donde es una constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable , a saber . Si tiene una derivada en entonces la llamamos la derivada parcial de con respecto a en . De forma análoga podemos hacerlo para variable y fija.
Definición (derivada parcial)

Sea una función de dos variables y sea , entonces la derivada parcial de...
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