Hiperbola

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Matemática

Asignatura: I

Matemática Nº Horas: 5hr

Curso: Semana:

11 3

Periodo:

Juan Carlos Alquerquez Cuentas Hipérbola y sus Componentes Realiza problemas de la Hipérbola

Exploración

¿Qué aplicaciones tienen las Hipérbolasen nuestro entorno?

Contextualización

EMOCIÓN Conceptualización
 Foco : Punto fijo del que la distancia a cual quiere otro punto es una constante  Vértice: Punto que marca los extremos de la hipérbola  Asíntota : líneas que determinan la abertura de la hipérbola y nunca tocan la grafica  Eje conjugado: Es donde se encuentran los focos  Eje Transverso: Es el eje que no corta la curva Excentricidad : Es la relación matemática entre la distancia focal que y el vértice  Hipérbola : curva que es abierta y que está determinada según sea su ecuación

Producción ACCIÓN
Hipérbolas: lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante (representada por 2a), la recta que une los dos focos se llama eje dela hipérbola y la mediatriz se llama eje conjugado de la hipérbola, el punto donde se cortan ambos ejes se llama centro de la hipérbola.

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Observando la grafica tenemos que OV  V ' O  a , F ' O  OF  c , A' O  OA  b en donde F y F’ son los focos, V y V’ son losvértices, A y A’ son los puntos extremos del eje conjugado. Por definición F ' P  FP  2a , en donde:

FP  ( x  c) 2  y 2 y F ' P  ( x  c) 2  y 2 , siendo las coordenadas de F(c,0) y F’(-c,0).
De acuerdo a la definición tenemos que:

( x  c) 2  y 2  ( x  c) 2  y 2  2a  ( x  c) 2  y 2  2a  ( x  c) 2  y 2 ,

elevando

al

cuadrado ambos términos y simplificando queda: (c2– a2)x2 – a2y2 = a2(c2 – a2), dividiendo por a2(c2 – a2) se obtiene la ecuación

ecuación de la hipérbola con centro en el origen y eje que coincide con X:

x2 y2  2  1 , como c>a, c2 – a2 es positivo. Haciendo b2 = c2 – a2 obtenemos la 2 2 a c a

x2 y2   1 , en caso de centro en el origen y eje que coincide con el eje Y tenemos le a2 b2 y2 x2 siguiente ecuación: 2  2  1 a bVértices y focos de una hipérbola: Ecuación Vértices Focos Asintotas Excentricidad Lado Recto

x y  2 1 2 a b y2 x2  1 a2 b2

2

2

V(±a, 0) F(±c, 0)

y y

b x a a x

c e  a

a2  b2 a

LR 

2b 2 a

V(0, ±a) F(0, b ±c) La excentricidad de una hipérbola debe ser mayor que 1 (e>1)

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Hipérbolas con ejes paralelos a los ejes coordenados (centro no coincide con el origen). Si se tiene una hipérbola con centro en el punto C(h, k) y su eje es paralelo al eje X su ecuación y su asintota es: Ecuación Asintota

( x  h) 2 ( y  k ) 2  1 a2 b2

b y  k   ( x  h) a

Si se tiene una hipérbola con centro C(h, k) y su eje es paralelo al ejeY, su ecuación y su asintota es: Ecuación Asíntota
2

( y  k) ( x  h)  1 2 a b2
2

a y  k   ( x  h) b

Aplicación:
 

Algunos cometas tienen órbitas hiperbólicas La ley de Boyle es una relación hiperbólica, ya que se establece entre dos relaciones que son inversamente proporcionales entre sí.

Modelación Ejemplo 1. Hallar los focos, los vértices, la excentricidad, el ladorecto y las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes Hipérbolas a) 9x2 – 4y2 = 36 Solución: Dividiendo ambos lados por 36 se tiene;
x2 y2   1  a2 = 4 y b2 = 9  a = 2 y b = 3  V(±2,0), A(0, ±3), 4 9 c 13 c  a 2  b 2  4  9  13  F ( 13,0) , excentricidad e   a 2

3 2b 2 18 Asíntotas: y = ± x , lado recto LR    9 , centro C(0,0) eje coincide con 2 a 2 X
b) 4y2 – 2x2 = 1...
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