HIPOTESIS NULA

UNIDAD 7
Medidas de dispersión

UNIDAD 7
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Al calcular un promedio, por ejemplo la media
aritmética no sabemos su representatividad
para ese conjunto de datos. La información
suministrada por ella es limitada y nada nos
dice sobre la forma como están diseminados
los datos con relación a la tendencia central.
Si existe concentración de datos alrededor del
promedio,nos indica una buena aplicación en
su uso, por el contrario una gran dispersión
está indicando poca representatividad, por lo
tanto no será confiable.
Las medidas de dispersión son las indicadas
cuando queremos evaluar dos o más
promedios.
Las medidas de dispersión más conocidas y
utilizadas son la varianza, la desviación típica o
estándar.
ଶ

ଶ

7.1 VARIANZA (‫ ݏ‬ó ߪ )

‫= ̅ݔ‬∑ ‫ݔ‬௜
݊

‫= ̅ݔ‬

5 + 3 + 1 + 6 + 10
=5
5

∑ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ
‫= ݏ‬
݊

ଶ

ଶ

‫ݏ‬ଶ =

ሺ5 − 5ሻଶ + ሺ5 − 3ሻଶ + ሺ5 − 1ሻଶ + ሺ5 − 6ሻଶ + ሺ5 − 10ሻଶ
5

‫ ݏ‬ଶ = 9,2
Datos agrupados: al trabajar con datos
agrupados utilizamos:
∑ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ ݊௜
‫= ݏ‬
݊

݁݊ ݈ܽ ݉‫ ܽݎݐݏ݁ݑ‬y

∑ሺܺ௜ − ߤሻଶ ݊௜
ߪ =
ܰ

݁݊ ݈ܽ ‫݈ܾ݅ܿܽ݋݌‬ó݊

ଶ

ଶ

EJEMPLO 2.
Calcular la varianza
distribuciones:para

las

siguientes

Datos sin agrupar: al trabajar con datos sin
agrupar utilizamos:
∑ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ
‫= ݏ‬
݊
ଶ

ߪଶ =

∑ሺܺ௜ − ߤሻଶ
ܰ

݁݊ ݈ܽ ݉‫ ܽݎݐݏ݁ݑ‬y

݁݊ ݈ܽ ‫݈ܾ݅ܿܽ݋݌‬ó݊

EJEMPLO 1.
Con los siguientes datos 5, 3, 1, 6, 10 calcule la
varianza

xi

ni

ni xi

‫ݔ‬௜ − ‫̅ݔ‬

ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ

5

2

10

-9,75

-19,50

190,1250

10

4

40

-4,75-19,00

90,2500

15

8

120

0,25

2,00

0,5000

20

5

100

5,25

26,25

137,8125

25

La varianza se define como la media aritmética
de los cuadrados de las diferencias entre los
valores que toman la variable y su media
aritmética. Se simboliza ߪ ଶ en la muestra y ‫ ݏ‬ଶ
en la población.

1

25

10,25

10,25

105,0625

Σ

20

295

0,00523,7500

‫= ̅ݔ‬

-

ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ ݊ଵ

∑ ݊௜ ‫ݔ‬௜ 295
=
= 14,75
݊
20

‫ݏ‬ଶ =

∑ሺ‫ݔ‬௜ − ‫ ̅ݔ‬ሻଶ ݊௜ 523,75
=
= 26,1875
݊
20

7.2 DESVIACIÓN TÍPICA (‫ ݏ‬ó ߪ)

EJEMPLO 5.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la
varianza, considerada siempre positiva.

Para la media y la varianza de un conjunto se
han hallado, respectivamente los valores 4 y 25
¿qué opinión merecela media aritmética?

‫ = ݏ‬ඥ‫ ݏ‬ଶ ݁݊ ݈ܽ ݉‫ ܽݎݐݏ݁ݑ‬y
ߪ = ඥߪ ଶ ݁݊ ݈ܽ ‫݈ܾ݅ܿܽ݋݌‬ó݊
La desviación típica, es la medida de dispersión
más utilizada y de mayor utilidad, dado que las
unidades son expresadas en la misma de la
variable; mientras que, la varianza se expresan
en las mismas unidades pero al cuadrado.
EJEMPLO 3.
Si la varianza es ‫ ݏ‬ଶ = 26,1875, la desviación
típica es:

‫= ܸܥ‬‫ݏ‬
5
× 100 = × 100 = 125%
‫̅ݔ‬
4

Esta media aritmética no lo es suficientemente
representativa de la distribución, debido a
variabilidad tan alta.
7.4 PUNTAJE TÍPICO O ESTANDARIZADO (‫)ܜ ,܈‬
Es el estadígrafo de dispersión muy utilizado en
la distribución normal y en el análisis de
coeficiente de correlación, mide la desviación
de una observación con respecto a la mediaaritmética en unidades de desviación típica,
determinando la posición de una observación
dada, dentro de un conjunto de observaciones.

‫ = ݏ‬ඥ‫ ݏ‬ଶ = ඥ26,1875 = 5,12
‫=ݖ‬

‫̅ݔ − ݔ‬
‫ݏ‬

‫=ݐ ݋‬

‫̅ݔ − ݔ‬
‫ݏ‬

7.3 COEFICIENTE DE VARIACIÓN (۱‫)܄‬
Se utiliza para comparar la variabilidad entre
dos series de datos. Es frecuente encontrar que
dos series de datos no tienen las mismas
unidades,por lo tanto no podrán compararse
con sus varianzas, entonces el coeficiente de
variación es un buen aplicativo
‫= ܸܥ‬

‫ݏ‬
‫̅ݔ‬

‫= ܸܥ‬

‫ݏ‬
× 100 ‫݈ܽݑݐ݊݁ܿݎ݋݌‬
‫̅ݔ‬

‫݋ݒ݅ݐ݈ܽ݁ݎ‬

EJEMPLO 4.
‫21,5 = ݏ‬
‫57,41 = ̅ݔ‬
‫= ܸܥ‬

‫ݏ‬
5,12
× 100 =
× 100 = 34,71%
‫̅ݔ‬
14,75

Medidas de dispersión

El puntaje típico sirve para comparar dos o más
datos individuales, aunque...