Historia del limite

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HISTORIA DEL LIMITE MATEMATICO

En este artículo trataremos de resumir la historia de una concepción abstracta de difícil comprensión que ha sido de gran utilidad para el desarrollo del cálculo infinitesimal, se trata del concepto de límite matemático.
En matemáticas, la palabra límite está asociada con la idea de aproximación entre números y el concepto de límite está estrechamenterelacionado con la variación de los valores que toman las funciones o sucesiones.
Se trata de un concepto maestro en el cálculo infinitesimal, un artefacto intelectual imprescindible para poder definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación e integración, entre otros.
Las definiciones de límite para una función y para una sucesión son las siguientes:
La función f:D → R tienelímite L en p si para todo épsilon > 0 existe un delta > 0 tal que x ϵ D y 0 < | x-p | ≤ delta garantiza | f(x)-L | ≤ épsilon
La definición de límite para una sucesión es la siguiente:

Una sucesión {an} tiene límite L si para todo épsilon > 0 existe un número natural N tal que |an-L | ≤ épsilon para todo n ≥ N

Han sido tres siglos los necesarios para llegar a estas definiciones desde queJonh Wallis (1616-1703) formulase la que es aceptada como la primera en el siglo XVII. Él fue el primero que estableció claramente la noción de límite en la forma rigurosa hoy vigente, esto es, con la condición de que la diferencia entre la variable y el límite sea “quavis asignabilis minor”.

Fue Augustin Louis Cauchy (1789-1848) quien puso los cimientos del análisis infinitesimal fundamentandoel cálculo sobre el concepto de límite, siguiendo los criterios que ya apuntaron anteriormente John Wallis y James Gregory en el S.XVI I y ya en el siglo siguiente Jean Le Rond d’Alembert había incluído en la famosa enciclopedia francesa Encyclopédie una entrada para el concepto de Límite, que es definido como:

“Se dice que una cantidad es el límite de otra cantidad cuando la segunda puedeaproximarse a la primera con una diferencia menor que cualquier cantidad dada, por pequeña que esta se pueda suponer, aunque la cantidad que se aproxima no pueda sobrepasar nunca la cantidad aproximada. (…) La teoría de límites –agregaba d’Alembert—es la base de la verdadera metafísica del cálculo diferencial.”

Habría que esperar hasta el año 1821 cuando apareció finalmente el famoso texto deCauchy titulado Cours d’analyse algébrique, que refundaba la metodología matemática sobre bases conceptuales estrictamente rigurosas, en el ámbito del cálculo infinitesimal. En esta obra, el autor francés establecía cuidadosamente las nociones básicas del cálculo: función, límite, continuidad, derivada e integral. También distinguía allí entre las series infinitas sumables y las no sumables, es decir,entre series convergentes y divergentes.

En su obra Cauchy definía el límite de una función de la siguiente forma:

“Cuando los valores atribuidos sucesivamente a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para llegar por último a diferir de este valor en una cantidad tan pequeña como se desee, entonces dicho valor fijo recibe el nombre de límite de todos los demás valores.”Como se puede comprobar la definición no estaba totalmente pulida, tendrían que pasar aún unos treinta años para que el riguroso alemán Karl Weierstrass viniese a rematar la faena del delicado concepto de límite, con la ayuda de sus épsilon y delta, que no son más que números reales, muy pequeños y muy próximos a cero, y que tanto éxito le dieron.

La definición actual de límite como hemospodido comprobar, son el producto del esfuerzo combinado de grandes matemáticos, no hay que olvidar que ni siquiera Newton o Leibniz, considerados los padres del cálculo infinitesimal fueron capaces de intuirlo.

Conociendo la historia que hay detrás del concepto de límite volvemos a él para irlo entendiendo poco a poco e intentar explicarlo lo más sencillamente que se pueda, para ello nos...
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