Historia del problema de burnside

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Historia del Problema de Burnside.
Primero daremos dos definiciones:
• Un grupo G se dice periódico si para cada elemento, g de G, existe un n natural tal que g^n = 1.
• Un grupo G se dice periódico de exponente acotado si existe un n natural tal que g^n = 1 para todo elemento g de G. El mínimo de tales n es llamado el exponente G.
Por el teorema de Lagrange, todo grupo finito esperiódico. En su artículo de 1902, Burnside introdujo lo que llamó "un punto todavía indeterminado en la teoría de grupos":
Problema General de Burnside (GBP): ¿Es un grupo periódico finitamente generado necesariamente finito?
Aunque, inmediatamente sugirió la pregunta mas natural: Problema de Burnside (BP): ¿Es un grupo periódico de exponente acotado y finitamente generado necesariamente finito?Definición: Sea Fm el grupo libre de rango m. Para un n fijo, sea Fmn el subgrupo de Fm generado por todos los g^n, variando g en G. Entonces, Fmn es un subgrupo normal de Fm (de hecho es un subgrupo invariante por isomorfismos). Ahora, definimos el grupo de Burnside B(m, n) como el correspondiente grupo cociente Fm/Fmn.
Burnside mostró una serie de resultados en su artículo de 1902:
• B(1, n)es isomorfo a Cn.
• B(m, 2) es un grupo elemental abeliano de orden 2^n. O sea, un producto directo de n copias de C2.
• B(m, 3) es finito de orden menor o igual que 3^(2m-1).
• B(2, 4) es finito de orden menor o igual que 2^(12). Aunque Burnside afirmó la igualdad.
Burnside y Schur pronto hicieron mas progresos en dos artículos, que confirmaron que el problema no era elemental:Teorema (Burnside 1905): Un grupo lineal finitamente generado que sea finito dimensional y tenga exponente finito es finito; i.e., cualquier subgrupo de GL(n,C) con exponente acotado es finito.
Teorema (Schur 1911): Cada subgrupo periódico finitamente generado de GL(n,C) es finito.
Estos resultados implican que cualquier contraejemplo a los problemas de Burnside serán difíciles de encontrar;i.e., no serán expresables en términos de los grupos lineales bien conocidos. Después de estos primeros resultados no hubo mas progresos en estos problemas hasta los primeros años treintas (1930), cuando el tópico fue resucitado con la sugerencia de una modificación en su planteamiento:
Problema Restringido de Burnside (RBP): ¿Existen solo un número finito de grupos finitos con m generadores yexponente n?
Si el RBP tiene una solución positiva para algún m, n entonces podemos podemos hacer el cociente de B(m, n) por la intersección de todos los subgrupos de índice finito para obtener B0(m,n), el grupo finito de m generadores universal, de exponente n, y que tiene a cualquier otro grupo finito, de m generadores y exponente n, como imagen homomorfica. Notaremos que si B(m,n) es finitoentonces B0(m,n) = B(m,n). Aunque esta formulación del problema circuló durante los años treinta, no apareció ningún artículo sobre esta formulación hasta 1940, por Grün. En realidad, el propio nombre de RBP no apareció hasta 1950 en un artículo de Magnus.
• En 1933, Levi, Van der Waerden (independientemente) mostraron que B(m, 3) tien orden 3c, c = m + mC2 + mC3 y es un grupo metaabelino de gradode nilpotencia 3.
• En 1940, Sanov probó que B(m, 4) es finito.
• En 1954, Tobin mostró que B(2, 4) tien orden 2^{12}, y dió una presentación.
• En 1955, Kostrikin estableció que B0(2, 5) existe.
• En 1956, Higman probó que B0(m, 5) existe. P Hall and G Higman mostraron que B0(m, 6) existe y tiene orden 2^a3^b, donde a = 1 + (m - 1)3^c , b = 1 + (m - 1)2^m , c = m + mC2 + mC3 yes por tanto resoluble de logitud derivada 3.
• En 1958, Marshall Hall Jr. probó que B(m, 6) es finito, una contribución que fue descrita como un "heróico ejemplo de cálculo".
Kostrikin mostró que B0(m, p) existe para todo p primo.
El artículo de Hall-Higman, de 1956, contiene un notable teorema de reducción para el RBP:
Theorem (Hall-Higman, 1956): Supongamos que n = p1^k1. ... .pr^kr...
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